MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicopnf Unicode version

Theorem elicopnf 10739
Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicopnf  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem elicopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10455 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
2 elico2 10714 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( A [,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <  +oo ) ) )
31, 2mpan2 652 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <  +oo ) ) )
4 ltpnf 10463 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <  +oo )
54adantr 451 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  <  +oo )
65pm4.71i 613 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  <  +oo ) )
7 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <  +oo )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  <  +oo ) )
86, 7bitr4i 243 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <  +oo ) )
93, 8syl6bbr 254 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   [,)cico 10658
This theorem is referenced by:  elrege0  10746  rexico  11837  limsupgle  11951  limsupgre  11955  rlim3  11972  ello12  11990  lo1bdd2  11998  elo12  12001  lo1resb  12038  rlimresb  12039  o1resb  12040  lo1eq  12042  rlimeq  12043  rlimsqzlem  12122  o1fsum  12271  ovolicopnf  18883  dvfsumrlimge0  19377  dvfsumrlim  19378  dvfsumrlim2  19379  cxp2lim  20271  chebbnd1  20621  chtppilimlem1  20622  chtppilimlem2  20623  chtppilim  20624  chebbnd2  20626  chto1lb  20627  chpchtlim  20628  chpo1ub  20629  vmadivsumb  20632  dchrisumlema  20637  dchrisumlem2  20639  dchrisumlem3  20640  dchrmusumlema  20642  dchrmusum2  20643  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumiflem1  20650  dchrisum0lema  20663  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem2a  20666  dchrisum0lem2  20667  2vmadivsumlem  20689  selbergb  20698  selberg2b  20701  chpdifbndlem1  20702  selberg3lem1  20706  selberg3lem2  20707  selberg4lem1  20709  pntrsumo1  20714  selbergsb  20724  pntrlog2bndlem3  20728  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntibndlem3  20741  pntlemn  20749  pntlem3  20758  pntleml  20760  pnt2  20762  rge0scvg  23373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ico 10662
  Copyright terms: Public domain W3C validator