MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicopnf Unicode version

Theorem elicopnf 10956
Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicopnf  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem elicopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10669 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
2 elico2 10930 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( A [,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <  +oo ) ) )
31, 2mpan2 653 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <  +oo ) ) )
4 ltpnf 10677 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <  +oo )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  <  +oo )
65pm4.71i 614 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  <  +oo ) )
7 df-3an 938 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <  +oo )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  <  +oo ) )
86, 7bitr4i 244 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <  +oo ) )
93, 8syl6bbr 255 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   [,)cico 10874
This theorem is referenced by:  elrege0  10963  rexico  12112  limsupgle  12226  limsupgre  12230  rlim3  12247  ello12  12265  lo1bdd2  12273  elo12  12276  lo1resb  12313  rlimresb  12314  o1resb  12315  lo1eq  12317  rlimeq  12318  rlimsqzlem  12397  o1fsum  12547  ovolicopnf  19373  dvfsumrlimge0  19867  dvfsumrlim  19868  dvfsumrlim2  19869  cxp2lim  20768  chebbnd1  21119  chtppilimlem1  21120  chtppilimlem2  21121  chtppilim  21122  chebbnd2  21124  chto1lb  21125  chpchtlim  21126  chpo1ub  21127  vmadivsumb  21130  dchrisumlema  21135  dchrisumlem2  21137  dchrisumlem3  21138  dchrmusumlema  21140  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumiflem1  21148  dchrisum0lema  21161  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem2a  21164  dchrisum0lem2  21165  2vmadivsumlem  21187  selbergb  21196  selberg2b  21199  chpdifbndlem1  21200  selberg3lem1  21204  selberg3lem2  21205  selberg4lem1  21207  pntrsumo1  21212  selbergsb  21222  pntrlog2bndlem3  21226  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntibndlem3  21239  pntlemn  21247  pntlem3  21256  pntleml  21258  pnt2  21260  itg2addnclem2  26156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-ico 10878
  Copyright terms: Public domain W3C validator