MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elii2 Unicode version

Theorem elii2 18434
Description: Divide the unit interval into two pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elii2  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  X  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )

Proof of Theorem elii2
StepHypRef Expression
1 0re 8838 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 1re 8837 . . . . 5  |-  1  e.  RR
31, 2elicc2i 10716 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1
) )
43simp1bi 970 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  X  e.  RR )
54adantr 451 . 2  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  X  e.  RR )
6 rehalfcl 9938 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
72, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
8 letric 8921 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( X  <_ 
( 1  /  2
)  \/  ( 1  /  2 )  <_  X ) )
94, 7, 8sylancl 643 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( X  <_  ( 1  / 
2 )  \/  (
1  /  2 )  <_  X ) )
109orcanai 879 . 2  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  ( 1  / 
2 )  <_  X
)
113simp3bi 972 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  X  <_  1 )
1211adantr 451 . 2  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  X  <_  1
)
137, 2elicc2i 10716 . 2  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2 )  <_  X  /\  X  <_  1
) )
145, 10, 12, 13syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  X  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   [,]cicc 10659
This theorem is referenced by:  phtpycc  18489  copco  18516  pcohtpylem  18517  pcopt  18520  pcopt2  18521  pcoass  18522  pcorevlem  18524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-icc 10663
  Copyright terms: Public domain W3C validator