MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elii2 Unicode version

Theorem elii2 18487
Description: Divide the unit interval into two pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elii2  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  X  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )

Proof of Theorem elii2
StepHypRef Expression
1 0re 8883 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 1re 8882 . . . . 5  |-  1  e.  RR
31, 2elicc2i 10763 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1
) )
43simp1bi 970 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  X  e.  RR )
54adantr 451 . 2  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  X  e.  RR )
6 rehalfcl 9985 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
72, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
8 letric 8966 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( X  <_ 
( 1  /  2
)  \/  ( 1  /  2 )  <_  X ) )
94, 7, 8sylancl 643 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( X  <_  ( 1  / 
2 )  \/  (
1  /  2 )  <_  X ) )
109orcanai 879 . 2  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  ( 1  / 
2 )  <_  X
)
113simp3bi 972 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  X  <_  1 )
1211adantr 451 . 2  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  X  <_  1
)
137, 2elicc2i 10763 . 2  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2 )  <_  X  /\  X  <_  1
) )
145, 10, 12, 13syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  X  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    e. wcel 1701   class class class wbr 4060  (class class class)co 5900   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    <_ cle 8913    / cdiv 9468   2c2 9840   [,]cicc 10706
This theorem is referenced by:  phtpycc  18542  copco  18569  pcohtpylem  18570  pcopt  18573  pcopt2  18574  pcoass  18575  pcorevlem  18577
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-2 9849  df-icc 10710
  Copyright terms: Public domain W3C validator