MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioo2 Structured version   Unicode version

Theorem elioo2 10957
Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
elioo2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) ) )

Proof of Theorem elioo2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval2 10949 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B )  =  { x  e.  RR  |  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) } )
21eleq2d 2503 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  C  e.  { x  e.  RR  | 
( A  <  x  /\  x  <  B ) } ) )
3 breq2 4216 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  <  x  <->  A  <  C ) )
4 breq1 4215 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
x  <  B  <->  C  <  B ) )
53, 4anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  <  x  /\  x  <  B )  <-> 
( A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
65elrab 3092 . . 3  |-  ( C  e.  { x  e.  RR  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  <->  ( C  e.  RR  /\  ( A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
7 3anass 940 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <  C  /\  C  <  B )  <->  ( C  e.  RR  /\  ( A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
86, 7bitr4i 244 . 2  |-  ( C  e.  { x  e.  RR  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) )
92, 8syl6bb 253 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   RR*cxr 9119    < clt 9120   (,)cioo 10916
This theorem is referenced by:  eliooord  10970  elioopnf  10998  elioomnf  10999  difreicc  11028  xov1plusxeqvd  11041  tanhbnd  12762  bl2ioo  18823  xrtgioo  18837  zcld  18844  iccntr  18852  icccmplem2  18854  reconnlem1  18857  reconnlem2  18858  icoopnst  18964  iocopnst  18965  ivthlem3  19350  ovolicc2lem1  19413  ovolicc2lem5  19417  ioombl1lem4  19455  mbfmax  19541  itg2monolem1  19642  itg2monolem3  19644  dvferm1lem  19868  dvferm2lem  19870  dvlip2  19879  dvivthlem1  19892  lhop1lem  19897  lhop  19900  dvcnvrelem1  19901  dvcnvre  19903  itgsubst  19933  sincosq1sgn  20406  sincosq2sgn  20407  sincosq3sgn  20408  sincosq4sgn  20409  coseq00topi  20410  tanabsge  20414  sinq12gt0  20415  sinq12ge0  20416  cosq14gt0  20418  sincos6thpi  20423  sineq0  20429  cosordlem  20433  tanord1  20439  tanord  20440  argregt0  20505  argimgt0  20507  argimlt0  20508  dvloglem  20539  logf1o2  20541  efopnlem2  20548  asinsinlem  20731  acoscos  20733  atanlogsublem  20755  atantan  20763  atanbndlem  20765  atanbnd  20766  atan1  20768  scvxcvx  20824  basellem1  20863  pntibndlem1  21283  pntibnd  21287  pntlemc  21289  padicabvf  21325  padicabvcxp  21326  cnre2csqlem  24308  itg2gt0cn  26260  iblabsnclem  26268  dvreasin  26290  areacirclem1  26292  areacirc  26297  ivthALT  26338  sineq0ALT  29049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-ioo 10920
  Copyright terms: Public domain W3C validator