MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioo2 Unicode version

Theorem elioo2 10697
Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
elioo2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) ) )

Proof of Theorem elioo2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval2 10689 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B )  =  { x  e.  RR  |  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) } )
21eleq2d 2350 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  C  e.  { x  e.  RR  | 
( A  <  x  /\  x  <  B ) } ) )
3 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  <  x  <->  A  <  C ) )
4 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
x  <  B  <->  C  <  B ) )
53, 4anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  <  x  /\  x  <  B )  <-> 
( A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
65elrab 2923 . . 3  |-  ( C  e.  { x  e.  RR  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  <->  ( C  e.  RR  /\  ( A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
7 3anass 938 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <  C  /\  C  <  B )  <->  ( C  e.  RR  /\  ( A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
86, 7bitr4i 243 . 2  |-  ( C  e.  { x  e.  RR  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) )
92, 8syl6bb 252 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   RR*cxr 8866    < clt 8867   (,)cioo 10656
This theorem is referenced by:  eliooord  10710  elioopnf  10737  elioomnf  10738  difreicc  10767  xov1plusxeqvd  10780  tanhbnd  12441  bl2ioo  18298  xrtgioo  18312  zcld  18319  iccntr  18326  icccmplem2  18328  reconnlem1  18331  reconnlem2  18332  icoopnst  18437  iocopnst  18438  ivthlem3  18813  ovolicc2lem1  18876  ovolicc2lem5  18880  ioombl1lem4  18918  mbfmax  19004  itg2monolem1  19105  itg2monolem3  19107  dvferm1lem  19331  dvferm2lem  19333  dvlip2  19342  dvivthlem1  19355  lhop1lem  19360  lhop  19363  dvcnvrelem1  19364  dvcnvre  19366  itgsubst  19396  sincosq1sgn  19866  sincosq2sgn  19867  sincosq3sgn  19868  sincosq4sgn  19869  coseq00topi  19870  tanabsge  19874  sinq12gt0  19875  sinq12ge0  19876  cosq14gt0  19878  sincos6thpi  19883  sineq0  19889  cosordlem  19893  tanord1  19899  tanord  19900  argregt0  19964  argimgt0  19966  argimlt0  19967  dvloglem  19995  logf1o2  19997  efopnlem2  20004  asinsinlem  20187  acoscos  20189  atanlogsublem  20211  atantan  20219  atanbndlem  20221  atanbnd  20222  atan1  20224  scvxcvx  20280  basellem1  20318  pntibndlem1  20738  pntibnd  20742  pntlemc  20744  padicabvf  20780  padicabvcxp  20781  dvreasin  24923  areacirclem2  24925  areacirclem3  24926  areacirc  24931  truni1  25505  truni3  25507  icccon4  25702  ivthALT  26258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ioo 10660
  Copyright terms: Public domain W3C validator