MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioo2 Unicode version

Theorem elioo2 10713
Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
elioo2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) ) )

Proof of Theorem elioo2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval2 10705 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B )  =  { x  e.  RR  |  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) } )
21eleq2d 2363 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  C  e.  { x  e.  RR  | 
( A  <  x  /\  x  <  B ) } ) )
3 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  <  x  <->  A  <  C ) )
4 breq1 4042 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
x  <  B  <->  C  <  B ) )
53, 4anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  <  x  /\  x  <  B )  <-> 
( A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
65elrab 2936 . . 3  |-  ( C  e.  { x  e.  RR  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  <->  ( C  e.  RR  /\  ( A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
7 3anass 938 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <  C  /\  C  <  B )  <->  ( C  e.  RR  /\  ( A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
86, 7bitr4i 243 . 2  |-  ( C  e.  { x  e.  RR  |  ( A  <  x  /\  x  <  B ) }  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) )
92, 8syl6bb 252 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   RR*cxr 8882    < clt 8883   (,)cioo 10672
This theorem is referenced by:  eliooord  10726  elioopnf  10753  elioomnf  10754  difreicc  10783  xov1plusxeqvd  10796  tanhbnd  12457  bl2ioo  18314  xrtgioo  18328  zcld  18335  iccntr  18342  icccmplem2  18344  reconnlem1  18347  reconnlem2  18348  icoopnst  18453  iocopnst  18454  ivthlem3  18829  ovolicc2lem1  18892  ovolicc2lem5  18896  ioombl1lem4  18934  mbfmax  19020  itg2monolem1  19121  itg2monolem3  19123  dvferm1lem  19347  dvferm2lem  19349  dvlip2  19358  dvivthlem1  19371  lhop1lem  19376  lhop  19379  dvcnvrelem1  19380  dvcnvre  19382  itgsubst  19412  sincosq1sgn  19882  sincosq2sgn  19883  sincosq3sgn  19884  sincosq4sgn  19885  coseq00topi  19886  tanabsge  19890  sinq12gt0  19891  sinq12ge0  19892  cosq14gt0  19894  sincos6thpi  19899  sineq0  19905  cosordlem  19909  tanord1  19915  tanord  19916  argregt0  19980  argimgt0  19982  argimlt0  19983  dvloglem  20011  logf1o2  20013  efopnlem2  20020  asinsinlem  20203  acoscos  20205  atanlogsublem  20227  atantan  20235  atanbndlem  20237  atanbnd  20238  atan1  20240  scvxcvx  20296  basellem1  20334  pntibndlem1  20754  pntibnd  20758  pntlemc  20760  padicabvf  20796  padicabvcxp  20797  itg2gt0cn  25006  iblabsnclem  25014  dvreasin  25026  areacirclem2  25028  areacirclem3  25029  areacirc  25034  truni1  25608  truni3  25610  icccon4  25805  ivthALT  26361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ioo 10676
  Copyright terms: Public domain W3C validator