Theorem elioo5 8010

Description: Membership in an open interval of extended reals.

Assertion

Ref	Expression
elioo5	|- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> (C e. (A(,)B) <-> (A < C /\ C < B)))

Proof of Theorem elioo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo1 8003	. . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (C e. (A(,)B) <-> (C e. RR* /\ A < C /\ C < B)))
2	1	3adant3 1168	. 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> (C e. (A(,)B) <-> (C e. RR* /\ A < C /\ C < B)))
3		3anass 1134	. . . 4 |- ((C e. RR* /\ A < C /\ C < B) <-> (C e. RR* /\ (A < C /\ C < B)))
4	3	baibr 1052	. . 3 |- (C e. RR* -> ((A < C /\ C < B) <-> (C e. RR* /\ A < C /\ C < B)))
5	4	3ad2ant3 1171	. 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> ((A < C /\ C < B) <-> (C e. RR* /\ A < C /\ C < B)))
6	2, 5	bitr4d 315	1 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> (C e. (A(,)B) <-> (A < C /\ C < B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 231   /\ wa 433   /\ w3a 1130   e. wcel 1617   class class class wbr 3539  (class class class)co 5020  RR*cxr 6946   < clt 6947  (,)cioo 7982

This theorem is referenced by:  iooshf 8022  iooneg 8033  sineq0 11092  sineq0OLD 11093  nelioo5 15870  altretop 16049

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961  ax-cnex 6885  ax-resscn 6886

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-rex 2390  df-rab 2392  df-v 2571  df-sbc 2731  df-csb 2806  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-nul 3115  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-op 3278  df-uni 3399  df-br 3540  df-opab 3598  df-id 3779  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fv 4179  df-opr 5022  df-oprab 5023  df-xr 6950  df-ioo 7986

Copyright terms: Public domain