MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioomnf Structured version   Unicode version

Theorem elioomnf 11000
Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioomnf  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
A ) ) )

Proof of Theorem elioomnf
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10715 . . 3  |-  -oo  e.  RR*
2 elioo2 10958 . . 3  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( B  e.  RR  /\  -oo  <  B  /\  B  <  A
) ) )
31, 2mpan 653 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( B  e.  RR  /\  -oo  <  B  /\  B  <  A
) ) )
4 an32 775 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\ 
-oo  <  B )  /\  B  <  A )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  /\  -oo  <  B ) )
5 df-3an 939 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  -oo 
<  B  /\  B  < 
A )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  -oo  <  B )  /\  B  <  A ) )
6 mnflt 10723 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  -oo  <  B )
76adantr 453 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  ->  -oo  <  B )
87pm4.71i 615 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  /\  -oo  <  B ) )
94, 5, 83bitr4i 270 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  -oo 
<  B  /\  B  < 
A )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
A ) )
103, 9syl6bb 254 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726   class class class wbr 4213  (class class class)co 6082   RRcr 8990    -oocmnf 9119   RR*cxr 9120    < clt 9121   (,)cioo 10917
This theorem is referenced by:  bndth  18984  mbfmulc2lem  19540  mbfposr  19545  ismbf3d  19547  mbfi1fseqlem4  19611  itg2monolem1  19643  dvne0  19896  mbfposadd  26255  itg2addnclem2  26258  iblabsnclem  26269  ftc1anclem1  26281  ftc1anclem6  26286  rfcnpre2  27679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-ioo 10921
  Copyright terms: Public domain W3C validator