MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioomnf Unicode version

Theorem elioomnf 10785
Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioomnf  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
A ) ) )

Proof of Theorem elioomnf
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10503 . . 3  |-  -oo  e.  RR*
2 elioo2 10744 . . 3  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( B  e.  RR  /\  -oo  <  B  /\  B  <  A
) ) )
31, 2mpan 651 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( B  e.  RR  /\  -oo  <  B  /\  B  <  A
) ) )
4 an32 773 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\ 
-oo  <  B )  /\  B  <  A )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  /\  -oo  <  B ) )
5 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  -oo 
<  B  /\  B  < 
A )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  -oo  <  B )  /\  B  <  A ) )
6 mnflt 10511 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  -oo  <  B )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  ->  -oo  <  B )
87pm4.71i 613 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  /\  -oo  <  B ) )
94, 5, 83bitr4i 268 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  -oo 
<  B  /\  B  < 
A )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
A ) )
103, 9syl6bb 252 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1701   class class class wbr 4060  (class class class)co 5900   RRcr 8781    -oocmnf 8910   RR*cxr 8911    < clt 8912   (,)cioo 10703
This theorem is referenced by:  bndth  18509  mbfmulc2lem  19055  mbfposr  19060  ismbf3d  19062  mbfi1fseqlem4  19126  itg2monolem1  19158  dvne0  19411  itg2addnclem2  25318  itgaddnclem2  25324  iblabsnclem  25328  rfcnpre2  26850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-ioo 10707
  Copyright terms: Public domain W3C validator