MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooord Structured version   Unicode version

Theorem eliooord 10970
Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
eliooord  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )

Proof of Theorem eliooord
StepHypRef Expression
1 eliooxr 10969 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )
2 elioo2 10957 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  < 
A  /\  A  <  C ) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  < 
A  /\  A  <  C ) ) )
43ibi 233 . 2  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  <  A  /\  A  < 
C ) )
5 3simpc 956 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  <  A  /\  A  <  C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )
64, 5syl 16 1  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   RR*cxr 9119    < clt 9120   (,)cioo 10916
This theorem is referenced by:  elioo4g  10971  iccssioo2  10983  qdensere  18804  zcld  18844  reconnlem2  18858  xrge0tsms  18865  ovolioo  19462  ioorcl2  19464  itgsplitioo  19729  dvferm1lem  19868  dvferm2lem  19870  dvferm  19872  dvlt0  19889  dvivthlem1  19892  lhop1lem  19897  lhop1  19898  lhop2  19899  dvcvx  19904  ftc1lem4  19923  itgsubstlem  19932  itgsubst  19933  pilem2  20368  pilem3  20369  pigt2lt4  20370  tangtx  20413  tanabsge  20414  cosne0  20432  tanord  20440  tanregt0  20441  argimlt0  20508  logneg2  20510  divlogrlim  20526  logno1  20527  logcnlem3  20535  dvloglem  20539  logf1o2  20541  loglesqr  20642  asinsin  20732  acoscos  20733  atanlogaddlem  20753  atanlogsub  20756  atantan  20763  atanbndlem  20765  scvxcvx  20824  basellem8  20870  vmalogdivsum2  21232  vmalogdivsum  21233  2vmadivsumlem  21234  chpdifbndlem1  21247  selberg3lem1  21251  selberg3  21253  selberg4lem1  21254  selberg4  21255  selberg3r  21263  selberg4r  21264  selberg34r  21265  pntrlog2bndlem1  21271  pntrlog2bndlem2  21272  pntrlog2bndlem3  21273  pntrlog2bndlem4  21274  pntrlog2bndlem5  21275  pntrlog2bndlem6a  21276  pntrlog2bndlem6  21277  pntrlog2bnd  21278  pntpbnd1a  21279  pntpbnd1  21280  pntpbnd2  21281  pntpbnd  21282  pntibndlem2  21285  pntibndlem3  21286  pntibnd  21287  pntlemd  21288  pntlemb  21291  pntlemr  21296  pnt  21308  padicabv  21324  xrge0tsmsd  24223  lgamgulmlem2  24814  itg2gt0cn  26260  ftc1cnnclem  26278  dvreacos  26291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-ioo 10920
  Copyright terms: Public domain W3C validator