MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioore Unicode version

Theorem elioore 10906
Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elioore  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem elioore
StepHypRef Expression
1 elioo3g 10905 . 2  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  /\  ( B  <  A  /\  A  <  C ) ) )
2 3ancomb 945 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  <->  ( B  e.  RR*  /\  A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* ) )
3 xrre2 10718 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )  ->  A  e.  RR )
42, 3sylanb 459 . 2  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  /\  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )  ->  A  e.  RR )
51, 4sylbi 188 1  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   class class class wbr 4176  (class class class)co 6044   RRcr 8949   RR*cxr 9079    < clt 9080   (,)cioo 10876
This theorem is referenced by:  iooval2  10909  elioo4g  10931  ioossre  10932  tgioo  18784  zcld  18801  ioorcl2  19421  lhop2  19856  dvcvx  19861  pilem2  20325  pilem3  20326  pire  20329  tanrpcl  20369  tangtx  20370  tanabsge  20371  sinq34lt0t  20374  cosq14gt0  20375  sineq0  20386  cosne0  20389  tanord  20397  divlogrlim  20483  logno1  20484  logccv  20511  angpieqvd  20629  asinsin  20689  reasinsin  20693  scvxcvx  20781  basellem3  20822  basellem8  20827  vmalogdivsum2  21189  vmalogdivsum  21190  2vmadivsumlem  21191  selberg3lem1  21208  selberg3  21210  selberg4lem1  21211  selberg4  21212  selberg3r  21220  selberg4r  21221  selberg34r  21222  pntrlog2bndlem1  21228  pntrlog2bndlem2  21229  pntrlog2bndlem3  21230  pntrlog2bndlem4  21231  pntrlog2bndlem5  21232  pntrlog2bndlem6a  21233  pntrlog2bndlem6  21234  pntpbnd  21239  pntibndlem3  21243  pntibnd  21244  itg2gt0cn  26163  itggt0cn  26180  ftc1cnnclem  26181  ftc1cnnc  26182  dvreasin  26183  dvreacos  26184  areacirclem2  26185  areacirclem3  26186  areacirc  26191  wallispilem1  27685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-ioo 10880
  Copyright terms: Public domain W3C validator