MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioore Structured version   Unicode version

Theorem elioore 10977
Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elioore  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem elioore
StepHypRef Expression
1 elioo3g 10976 . 2  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  /\  ( B  <  A  /\  A  <  C ) ) )
2 3ancomb 946 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  <->  ( B  e.  RR*  /\  A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* ) )
3 xrre2 10789 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )  ->  A  e.  RR )
42, 3sylanb 460 . 2  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  /\  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )  ->  A  e.  RR )
51, 4sylbi 189 1  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1727   class class class wbr 4237  (class class class)co 6110   RRcr 9020   RR*cxr 9150    < clt 9151   (,)cioo 10947
This theorem is referenced by:  iooval2  10980  elioo4g  11002  ioossre  11003  tgioo  18858  zcld  18875  ioorcl2  19495  lhop2  19930  dvcvx  19935  pilem2  20399  pilem3  20400  pire  20403  tanrpcl  20443  tangtx  20444  tanabsge  20445  sinq34lt0t  20448  cosq14gt0  20449  sineq0  20460  cosne0  20463  tanord  20471  divlogrlim  20557  logno1  20558  logccv  20585  angpieqvd  20703  asinsin  20763  reasinsin  20767  scvxcvx  20855  basellem3  20896  basellem8  20901  vmalogdivsum2  21263  vmalogdivsum  21264  2vmadivsumlem  21265  selberg3lem1  21282  selberg3  21284  selberg4lem1  21285  selberg4  21286  selberg3r  21294  selberg4r  21295  selberg34r  21296  pntrlog2bndlem1  21302  pntrlog2bndlem2  21303  pntrlog2bndlem3  21304  pntrlog2bndlem4  21305  pntrlog2bndlem5  21306  pntrlog2bndlem6a  21307  pntrlog2bndlem6  21308  pntpbnd  21313  pntibndlem3  21317  pntibnd  21318  tan2h  26276  dvtanlem  26292  itg2gt0cn  26298  itggt0cn  26315  ftc1cnnclem  26316  ftc1cnnc  26317  ftc1anclem7  26324  ftc1anclem8  26325  ftc1anc  26326  dvreasin  26328  dvreacos  26329  areacirclem1  26330  areacirc  26335  wallispilem1  27828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-ioo 10951
  Copyright terms: Public domain W3C validator