MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooxr Unicode version

Theorem eliooxr 10903
Description: A non-empty open interval spans an interval of extended reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
eliooxr  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )

Proof of Theorem eliooxr
StepHypRef Expression
1 ne0i 3579 . 2  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B (,) C )  =/=  (/) )
2 ndmioo 10877 . . 3  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B (,) C
)  =  (/) )
32necon1ai 2594 . 2  |-  ( ( B (,) C )  =/=  (/)  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* ) )
41, 3syl 16 1  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717    =/= wne 2552   (/)c0 3573  (class class class)co 6022   RR*cxr 9054   (,)cioo 10850
This theorem is referenced by:  eliooord  10904  elioo4g  10905  ioorebas  10940  tgioo  18700  ioorcl2  19333  ioorinv2  19336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-xr 9059  df-ioo 10854
  Copyright terms: Public domain W3C validator