Theorem elirrv 4570

Description: The membership relation is irreflexive: no set is a member of itself. Theorem 105 of [Suppes] p. 54. (This is trivial to prove from zfregfr 4573 and efrirr 2918, but this proof is direct from the Axiom of Regularity.)

Assertion

Ref	Expression
elirrv	|- -. x e. x

Proof of Theorem elirrv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1526	. . . 4 |- (y = x -> (y e. {x} <-> x e. {x}))
2		visset 1804	. . . . 5 |- x e. V
3	2	snid 2425	. . . 4 |- x e. {x}
4	1, 3	a4eiv 1269	. . 3 |- E.y y e. {x}
5		snex 2740	. . . 4 |- {x} e. V
6	5	zfregcl 4567	. . 3 |- (E.y y e. {x} -> E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
7	4, 6	ax-mp 7	. 2 |- E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x}
8		ax-14 967	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x e. x -> x e. y))
9	8	equcoms 1126	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (x e. x -> x e. y))
10	9	com12 11	. . . . . . 7 |- (x e. x -> (y = x -> x e. y))
11		elsn 2411	. . . . . . 7 |- (y e. {x} <-> y = x)
12	10, 11	syl5ib 206	. . . . . 6 |- (x e. x -> (y e. {x} -> x e. y))
13		eleq1 1526	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (z e. {x} <-> x e. {x}))
14	13	negbid 609	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (-. z e. {x} <-> -. x e. {x}))
15	14	rcla4cv 1865	. . . . . . 7 |- (A.z e. y -. z e. {x} -> (x e. y -> -. x e. {x}))
16	3, 15	mt2i 110	. . . . . 6 |- (A.z e. y -. z e. {x} -> -. x e. y)
17	12, 16	nsyli 121	. . . . 5 |- (x e. x -> (A.z e. y -. z e. {x} -> -. y e. {x}))
18	17	con2d 91	. . . 4 |- (x e. x -> (y e. {x} -> -. A.z e. y -. z e. {x}))
19	18	r19.21aiv 1705	. . 3 |- (x e. x -> A.y e. {x} -. A.z e. y -. z e. {x})
20		ralnex 1645	. . 3 |- (A.y e. {x} -. A.z e. y -. z e. {x} <-> -. E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
21	19, 20	sylib 198	. 2 |- (x e. x -> -. E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
22	7, 21	mt2 109	1 |- -. x e. x

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  A.wral 1637  E.wrex 1638  {csn 2399

This theorem is referenced by:  elirr 4571  aceq6b 4714  nd1 4910  nd2 4911  nd3 4912  axunnd 4920  axregndlem1 4926  axregndlem2 4927  axregnd 4928

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-reg 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403

Copyright terms: Public domain