MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elixpsn Unicode version

Theorem elixpsn 6855
Description: Membership in a class of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
elixpsn  |-  ( A  e.  V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ A } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, F, y    x, A, y    x, V, y

Proof of Theorem elixpsn
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3651 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  { z }  =  { A } )
2 ixpeq1 6827 . . . 4  |-  ( { z }  =  { A }  ->  X_ x  e.  { z } B  =  X_ x  e.  { A } B )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  X_ x  e.  { z } B  =  X_ x  e.  { A } B )
43eleq2d 2350 . 2  |-  ( z  =  A  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ z } B  <->  F  e.  X_ x  e.  { A } B ) )
5 opeq1 3796 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  <. z ,  y >.  =  <. A ,  y >. )
65sneqd 3653 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  { <. z ,  y >. }  =  { <. A ,  y
>. } )
76eqeq2d 2294 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( F  =  { <. z ,  y >. }  <->  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
87rexbidv 2564 . 2  |-  ( z  =  A  ->  ( E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y >. }  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
9 elex 2796 . . 3  |-  ( F  e.  X_ x  e.  {
z } B  ->  F  e.  _V )
10 snex 4216 . . . . 5  |-  { <. z ,  y >. }  e.  _V
11 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( F  e.  _V  <->  { <. z ,  y >. }  e.  _V ) )
1210, 11mpbiri 224 . . . 4  |-  ( F  =  { <. z ,  y >. }  ->  F  e.  _V )
1312rexlimivw 2663 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. }  ->  F  e.  _V )
14 eleq1 2343 . . . 4  |-  ( w  =  F  ->  (
w  e.  X_ x  e.  { z } B  <->  F  e.  X_ x  e.  {
z } B ) )
15 eqeq1 2289 . . . . 5  |-  ( w  =  F  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  <->  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
1615rexbidv 2564 . . . 4  |-  ( w  =  F  ->  ( E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. }  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
17 vex 2791 . . . . . 6  |-  w  e. 
_V
1817elixp 6823 . . . . 5  |-  ( w  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  ( w  Fn  { z }  /\  A. x  e.  { z }  ( w `  x )  e.  B
) )
19 vex 2791 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
20 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
w `  x )  =  ( w `  z ) )
2120eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( w `  x
)  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B
) )
2219, 21ralsn 3674 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  { z }  ( w `  x )  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B )
2322anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  A. x  e.  { z }  (
w `  x )  e.  B )  <->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `  z
)  e.  B ) )
24 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  w  Fn  { z } )
25 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
w `  y )  =  ( w `  z ) )
2625eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( w `  y
)  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B
) )
2719, 26ralsn 3674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  { z }  ( w `  y )  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B )
2827biimpri 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w `  z )  e.  B  ->  A. y  e.  { z }  (
w `  y )  e.  B )
2928adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  A. y  e.  { z }  (
w `  y )  e.  B )
30 ffnfv 5685 . . . . . . . . 9  |-  ( w : { z } --> B  <->  ( w  Fn 
{ z }  /\  A. y  e.  { z }  ( w `  y )  e.  B
) )
3124, 29, 30sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  w : { z } --> B )
3219fsn2 5698 . . . . . . . 8  |-  ( w : { z } --> B  <->  ( ( w `
 z )  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } ) )
3331, 32sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  (
( w `  z
)  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z ) >. } ) )
34 opeq2 3797 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  <. z ,  y >.  =  <. z ,  ( w `  z ) >. )
3534sneqd 3653 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  { <. z ,  y >. }  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } )
3635eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  <->  w  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } ) )
3736rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w `  z
)  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z ) >. } )  ->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. } )
3833, 37syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
39 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
4019, 39fvsn 5713 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. z ,  y >. } `  z )  =  y
41 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  B )
4240, 41syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  ( { <. z ,  y
>. } `  z )  e.  B )
4319, 39fnsn 5304 . . . . . . . . 9  |-  { <. z ,  y >. }  Fn  { z }
4442, 43jctil 523 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  ( { <. z ,  y
>. }  Fn  { z }  /\  ( {
<. z ,  y >. } `  z )  e.  B ) )
45 fneq1 5333 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  <->  { <. z ,  y
>. }  Fn  { z } ) )
46 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w `  z )  =  ( { <. z ,  y >. } `  z ) )
4746eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( ( w `  z
)  e.  B  <->  ( { <. z ,  y >. } `  z )  e.  B ) )
4845, 47anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( ( w  Fn  {
z }  /\  (
w `  z )  e.  B )  <->  ( { <. z ,  y >. }  Fn  { z }  /\  ( { <. z ,  y >. } `  z )  e.  B
) ) )
4944, 48syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B ) ) )
5049rexlimiv 2661 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B ) )
5138, 50impbii 180 . . . . 5  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  <->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
5218, 23, 513bitri 262 . . . 4  |-  ( w  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
5314, 16, 52vtoclbg 2844 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ z } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
549, 13, 53pm5.21nii 342 . 2  |-  ( F  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } )
554, 8, 54vtoclbg 2844 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ A } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   X_cixp 6817
This theorem is referenced by:  ixpsnf1o  6856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ixp 6818
  Copyright terms: Public domain W3C validator