Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellimc2 Structured version   Unicode version

Theorem ellimc2 19756
 Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f
limccl.a
limccl.b
ellimc2.k fld
Assertion
Ref Expression
ellimc2 lim
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem ellimc2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 19754 . . . 4 lim
21sseli 3336 . . 3 lim
32pm4.71ri 615 . 2 lim lim
4 eqid 2435 . . . . . 6 t t
5 ellimc2.k . . . . . 6 fld
6 eqid 2435 . . . . . 6
7 limccl.f . . . . . 6
8 limccl.a . . . . . 6
9 limccl.b . . . . . 6
104, 5, 6, 7, 8, 9ellimc 19752 . . . . 5 lim t
1110adantr 452 . . . 4 lim t
125cnfldtopon 18809 . . . . . . 7 TopOn
139snssd 3935 . . . . . . . 8
148, 13unssd 3515 . . . . . . 7
15 resttopon 17217 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
1612, 14, 15sylancr 645 . . . . . 6 t TopOn
1716adantr 452 . . . . 5 t TopOn
1812a1i 11 . . . . 5 TopOn
19 ssun2 3503 . . . . . . 7
20 snssg 3924 . . . . . . . 8
219, 20syl 16 . . . . . . 7
2219, 21mpbiri 225 . . . . . 6
2322adantr 452 . . . . 5
24 elun 3480 . . . . . . . 8
25 elsn 3821 . . . . . . . . 9
2625orbi2i 506 . . . . . . . 8
2724, 26bitri 241 . . . . . . 7
28 simpllr 736 . . . . . . . 8
29 pm5.61 694 . . . . . . . . . 10
307ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11
3130ad2ant2r 728 . . . . . . . . . 10
3229, 31sylan2b 462 . . . . . . . . 9
3332anassrs 630 . . . . . . . 8
3428, 33ifclda 3758 . . . . . . 7
3527, 34sylan2b 462 . . . . . 6
3635, 6fmptd 5885 . . . . 5
37 iscnp 17293 . . . . . 6 t TopOn TopOn t t
3837baibd 876 . . . . 5 t TopOn TopOn t t
3917, 18, 23, 36, 38syl31anc 1187 . . . 4 t t
40 iftrue 3737 . . . . . . . . . . 11
4140, 6fvmptg 5796 . . . . . . . . . 10
4222, 41sylan 458 . . . . . . . . 9
4342eleq1d 2501 . . . . . . . 8
4443imbi1d 309 . . . . . . 7 t t
4544adantr 452 . . . . . 6 t t
465cnfldtop 18810 . . . . . . . . . . 11
47 cnex 9063 . . . . . . . . . . . . . 14
4847ssex 4339 . . . . . . . . . . . . 13
4914, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5049ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
51 restval 13646 . . . . . . . . . . 11 t
5246, 50, 51sylancr 645 . . . . . . . . . 10 t
5352rexeqdv 2903 . . . . . . . . 9 t
54 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12
5554inex1 4336 . . . . . . . . . . 11
5655rgenw 2765 . . . . . . . . . 10
57 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
58 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . 12
59 imaeq2 5191 . . . . . . . . . . . . 13
6059sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . 12
6158, 60anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11
6257, 61rexrnmpt 5871 . . . . . . . . . 10
6356, 62mp1i 12 . . . . . . . . 9
6422ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12
65 elin 3522 . . . . . . . . . . . . 13
6665rbaib 874 . . . . . . . . . . . 12
6764, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11
68 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
69 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 ifexg 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7168, 69, 70sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271ralrimivw 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473fnmpt 5563 . . . . . . . . . . . . . . 15
7573fmpt 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
76 df-f 5450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7775, 76bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877baib 872 . . . . . . . . . . . . . . 15
7972, 74, 783syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
80 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
81 inss2 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8281sseli 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8325, 40sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8483eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8582, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8680, 85syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786ralrimiv 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15
88 undif1 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8988ineq2i 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90 indi 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9189, 90eqtr3i 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9291raleqi 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
93 ralunb 3520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9492, 93bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9594rbaib 874 . . . . . . . . . . . . . . 15
9687, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
9779, 96bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . 13
98 inss2 3554 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9998sseli 3336 . . . . . . . . . . . . . . 15
100 eldifsni 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101 ifnefalse 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103102eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15
10499, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
105104ralbiia 2729 . . . . . . . . . . . . 13
10697, 105syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12
107 df-ima 4883 . . . . . . . . . . . . . 14
108 inss2 3554 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109 resmpt 5183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110108, 109mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15
111110rneqd 5089 . . . . . . . . . . . . . 14
112107, 111syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . 13
113112sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . 12
1147ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14
115 ffun 5585 . . . . . . . . . . . . . 14
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
117 difss 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15
11898, 117sstri 3349 . . . . . . . . . . . . . 14
119 fdm 5587 . . . . . . . . . . . . . . 15
120114, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
121118, 120syl5sseqr 3389 . . . . . . . . . . . . 13
122 funimass4 5769 . . . . . . . . . . . . 13
123116, 121, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
124106, 113, 1233bitr4d 277 . . . . . . . . . . 11
12567, 124anbi12d 692 . . . . . . . . . 10
126125rexbidva 2714 . . . . . . . . 9
12753, 63, 1263bitrd 271 . . . . . . . 8 t
128127anassrs 630 . . . . . . 7 t
129128pm5.74da 669 . . . . . 6 t
13045, 129bitrd 245 . . . . 5 t
131130ralbidva 2713 . . . 4 t
13211, 39, 1313bitrd 271 . . 3 lim
133132pm5.32da 623 . 2 lim
1343, 133syl5bb 249 1 lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   cin 3311   wss 3312  cif 3731  csn 3806   cmpt 4258   cdm 4870   crn 4871   cres 4872  cima 4873   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980   ↾t crest 13640  ctopn 13641  ℂfldccnfld 16695  ctop 16950  TopOnctopon 16951   ccnp 17281   lim climc 19741 This theorem is referenced by:  limcnlp  19757  ellimc3  19758  limcflf  19760  limcresi  19764  limciun  19773  lhop1lem  19889 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cnp 17284  df-xms 18342  df-ms 18343  df-limc 19745
 Copyright terms: Public domain W3C validator