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Theorem ellimc2 19227
Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limccl.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limccl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
ellimc2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ellimc2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, u, A    u, B, w    ph, u, w    u, C, w    u, F, w    u, K, w

Proof of Theorem ellimc2
Dummy variables  z 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 19225 . . . 4  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
21sseli 3176 . . 3  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  ->  C  e.  CC )
32pm4.71ri 614 . 2  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( C  e.  CC  /\  C  e.  ( F lim CC  B
) ) )
4 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
5 ellimc2.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
6 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
7 limccl.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
8 limccl.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
9 limccl.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
104, 5, 6, 7, 8, 9ellimc 19223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
1110adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
125cnfldtopon 18292 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
139snssd 3760 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
148, 13unssd 3351 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  C_  CC )
15 resttopon 16892 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
1612, 14, 15sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
1716adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
1812a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
19 ssun2 3339 . . . . . . 7  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
20 snssg 3754 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
219, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
2219, 21mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
2322adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
24 elun 3316 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )
25 elsn 3655 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
2625orbi2i 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
2724, 26bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
28 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( z  e.  A  \/  z  =  B
) )  /\  z  =  B )  ->  C  e.  CC )
29 pm5.61 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  <->  ( z  e.  A  /\  -.  z  =  B ) )
307ffvelrnda 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3130ad2ant2r 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  =  B
) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3229, 31sylan2b 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
3332anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( z  e.  A  \/  z  =  B
) )  /\  -.  z  =  B )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
3428, 33ifclda 3592 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
z  e.  A  \/  z  =  B )
)  ->  if (
z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
3527, 34sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
3635, 6fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC )
37 iscnp 16967 . . . . . 6  |-  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC  /\  A. u  e.  K  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) ) ) )
3837baibd 875 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC )  ->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  A. u  e.  K  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) ) ) )
3917, 18, 23, 36, 38syl31anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  A. u  e.  K  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) ) ) )
40 iftrue 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  B  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  C )
4140, 6fvmptg 5600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  =  C )
4222, 41sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  =  C )
4342eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  <->  C  e.  u
) )
4443imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
)  <->  ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) ) )
4544adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) ) )
465cnfldtop 18293 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e. 
Top
47 cnex 8818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
4847ssex 4158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  { B } )  C_  CC  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
4914, 48syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
5049ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
51 restval 13331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( A  u.  { B } )  e.  _V )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  =  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
5246, 50, 51sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
5352rexeqdv 2743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. v  e.  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) )
54 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  e. 
_V
5554inex1 4155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  e.  _V
5655rgenw 2610 . . . . . . . . . 10  |-  A. w  e.  K  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  e. 
_V
57 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )
58 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( B  e.  v  <-> 
B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
59 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  =  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
6059sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u  <->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
6158, 60anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6257, 61rexrnmpt 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  K  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  e.  _V  ->  ( E. v  e.  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  C_  u
) ) )
6356, 62mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. v  e.  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6422ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
65 elin 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  <->  ( B  e.  w  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
6665rbaib 873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  <->  B  e.  w ) )
6764, 66syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  <->  B  e.  w ) )
68 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  C  e.  CC )
69 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
70 ifexg 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( F `  z )  e.  _V )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V )
7168, 69, 70sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V )
7271ralrimivw 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V )
73 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )
7473fnmpt 5370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V  ->  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  Fn  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )
7573fmpt 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) ) --> u )
76 df-f 5259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) ) : ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) --> u  <-> 
( ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  Fn  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ran  (
z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  C_  u ) )
7775, 76bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( (
z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  Fn  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) 
C_  u ) )
7877baib 871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  Fn  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  C_  u
) )
7972, 74, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  C_  u
) )
80 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  C  e.  u )
81 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  i^i  { B }
)  C_  { B }
8281sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( w  i^i 
{ B } )  ->  z  e.  { B } )
8325, 40sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  { B }  ->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) )  =  C )
8483eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  { B }  ->  ( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  C  e.  u
) )
8582, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( w  i^i 
{ B } )  ->  ( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  C  e.  u
) )
8680, 85syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
z  e.  ( w  i^i  { B }
)  ->  if (
z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
8786ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  A. z  e.  ( w  i^i  { B } ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u )
88 undif1 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )  =  ( A  u.  { B } )
8988ineq2i 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  i^i  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )
90 indi 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  i^i  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  ( ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i  { B } ) )
9189, 90eqtr3i 2305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i 
{ B } ) )
9291raleqi 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u )
93 ralunb 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( (
w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  /\  A. z  e.  ( w  i^i  { B } ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9492, 93bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  /\  A. z  e.  ( w  i^i  { B }
) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9594rbaib 873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  { B } ) if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) )  e.  u  ->  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9687, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A 
\  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9779, 96bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) 
C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
98 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( A  \  { B } )
9998sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  { B }
) )
100 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  =/=  B )
101 ifnefalse 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =/=  B  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  ( F `
 z ) )
102100, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  ( F `
 z ) )
103102eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( F `  z )  e.  u
) )
10499, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  -> 
( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( F `  z )  e.  u
) )
105104ralbiia 2575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  u )
10697, 105syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) 
C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  u ) )
107 df-ima 4702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ran  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )
108 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
C_  ( A  u.  { B } )
109 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  C_  ( A  u.  { B } )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
110108, 109mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
111110rneqd 4906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ran  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
112107, 111syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
113112sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  C_  u
) )
1147ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  F : A --> CC )
115 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> CC  ->  Fun 
F )
116114, 115syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  Fun  F )
117 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
11898, 117sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  A
119 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
120114, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  dom  F  =  A )
121118, 120syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
w  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  dom  F )
122 funimass4 5573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  (
w  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  dom  F )  ->  ( ( F
" ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  u ) )
123116, 121, 122syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ( F `  z
)  e.  u ) )
124106, 113, 1233bitr4d 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) )
12567, 124anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  /\  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u )  <->  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
126125rexbidva 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
12753, 63, 1263bitrd 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
128127anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K
)  /\  C  e.  u )  ->  ( E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
129128pm5.74da 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
13045, 129bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
131130ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  K  (
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
)  <->  A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) )
13211, 39, 1313bitrd 270 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <->  A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
133132pm5.32da 622 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  C  e.  ( F lim CC  B
) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
1343, 133syl5bb 248 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    CnP ccnp 16955   lim CC climc 19212
This theorem is referenced by:  limcnlp  19228  ellimc3  19229  limcflf  19231  limcresi  19235  limciun  19244  lhop1lem  19360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cnp 16958  df-xms 17885  df-ms 17886  df-limc 19216
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