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Theorem ellimc3 19766
Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimc3.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
ellimc3.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
ellimc3.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
ellimc3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, y, z    ph, x, y, z   
x, F, y, z

Proof of Theorem ellimc3
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellimc3.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 ellimc3.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
3 ellimc3.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 eqid 2436 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
51, 2, 3, 4ellimc2 19764 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. u  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
6 cnxmet 18807 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
8 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
9 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
10 blcntr 18443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
12 rpxr 10619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
1312adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR* )
144cnfldtopn 18816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
1514blopn 18530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  x  e.  RR* )  ->  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
167, 8, 13, 15syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
17 eleq2 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( C  e.  u  <->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
18 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
1918anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
2019rexbidv 2726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  <->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
2117, 20imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) ) )
2221rspcv 3048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  e.  (
TopOpen ` fld )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  ( C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) ) )
2316, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  ( C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) ) )
2411, 23mpid 39 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
2514mopni2 18523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  v
)  ->  E. y  e.  RR+  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  C_  v )
266, 25mp3an1 1266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  v
)  ->  E. y  e.  RR+  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  C_  v )
27 ssrin 3566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) )  C_  (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )
28 imass2 5240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( v  i^i  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F " (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) ) )
29 sstr2 3355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( F " ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3027, 28, 293syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  ( ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3130com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  ( F " (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) )
3231reximdv 2817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( E. y  e.  RR+  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3326, 32syl5com 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  v
)  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3433impr 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  ( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
3534rexlimiva 2825 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
3624, 35syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3736ralrimdva 2796 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3814mopni2 18523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  C  e.  u
)  ->  E. x  e.  RR+  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  C_  u )
396, 38mp3an1 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  C  e.  u
)  ->  E. x  e.  RR+  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  C_  u )
40 r19.29r 2847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. x  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. x  e.  RR+  (
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) 
C_  u  /\  E. y  e.  RR+  ( F
" ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
416a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
423ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
43 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
4443rpxrd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR* )
4514blopn 18530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  B  e.  CC  /\  y  e.  RR* )  ->  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
4641, 42, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
47 blcntr 18443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  B  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
4841, 42, 43, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
49 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( B  e.  v  <->  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
50 ineq1 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( v  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )
5150imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  =  ( F " (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) )
5251sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  <->  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
5349, 52anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) )  <->  ( B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  /\  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) ) )
5453rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  ( B  e.  ( B
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  /\  ( F
" ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) )
5554expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  ( ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
5646, 48, 55syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
5756rexlimdva 2830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
58 sstr2 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )
5958com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
6059anim2d 549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) )  ->  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )
) )
6160reximdv 2817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6257, 61syl9 68 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) 
C_  u  ->  ( E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6362imp3a 421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  C_  u  /\  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6463rexlimdva 2830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( E. x  e.  RR+  (
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) 
C_  u  /\  E. y  e.  RR+  ( F
" ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6540, 64syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( E. x  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6665exp3a 426 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6739, 66syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  C  e.  u
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6867expdimp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( C  e.  u  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6968com23 74 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) ) ) )
7069ralrimdva 2796 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
7137, 70impbid 184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
721ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : A --> CC )
73 ffun 5593 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> CC  ->  Fun 
F )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  Fun  F )
75 inss2 3562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  C_  ( A  \  { B }
)
76 difss 3474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
77 fdm 5595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
7872, 77syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  dom  F  =  A )
7976, 78syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A  \  { B } )  C_  dom  F )
8075, 79syl5ss 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) )  C_  dom  F )
81 funimass4 5777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
8274, 80, 81syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
836a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
84 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
y  e.  RR+ )
8584rpxrd 10649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
y  e.  RR* )
863ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
8776, 2syl5ss 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
8887ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A  \  { B } )  C_  CC )
8988sselda 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  CC )
90 elbl3 18422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  RR* )  /\  ( B  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z
( abs  o.  -  ) B )  <  y
) )
9183, 85, 86, 89, 90syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z
( abs  o.  -  ) B )  <  y
) )
92 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
9392cnmetdval 18805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( z ( abs 
o.  -  ) B
)  =  ( abs `  ( z  -  B
) ) )
9489, 86, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z ( abs 
o.  -  ) B
)  =  ( abs `  ( z  -  B
) ) )
9594breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( z ( abs  o.  -  ) B )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y ) )
9691, 95bitrd 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
) )
97 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  RR+ )
9897rpxrd 10649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  RR* )
99 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  C  e.  CC )
100 eldifi 3469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  e.  A )
101 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> CC  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
10272, 100, 101syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
103 elbl3 18422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( C  e.  CC  /\  ( F `
 z )  e.  CC ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  ( ( F `  z )
( abs  o.  -  ) C )  <  x
) )
10483, 98, 99, 102, 103syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  ( ( F `  z )
( abs  o.  -  ) C )  <  x
) )
10592cnmetdval 18805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) ) )
106102, 99, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) ) )
107106breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( F `
 z ) ( abs  o.  -  ) C )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C ) )  <  x ) )
108104, 107bitrd 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )
10996, 108imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
110109ralbidva 2721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( z  e.  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
111 elin 3530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  <->  ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) ) )
112 ancom 438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  <->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
113111, 112bitri 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  <->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
114113imbi1i 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
115 impexp 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  ->  (
z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) ) )
116114, 115bitr2i 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  ->  ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )  <-> 
( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
117116ralbii2 2733 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  A. z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ( F `  z
)  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
118 impexp 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  z  =/=  B
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( z  =/=  B  ->  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
119 eldifsn 3927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )
120119imbi1i 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  z  =/=  B )  -> 
( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
121 impexp 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <-> 
( z  =/=  B  ->  ( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
122121imbi2i 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  -> 
( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( z  =/=  B  ->  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
123118, 120, 1223bitr4i 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
124123ralbii2 2733 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )
125110, 117, 1243bitr3g 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A. z  e.  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
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)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
12682, 125bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
127126anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
128127rexbidva 2722 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
129128ralbidva 2721 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
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) )  <  y
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) )  <  x
) ) )
13071, 129bitrd 245 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
131130pm5.32da 623 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) ) )
1325, 131bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   "cima 4881    o. ccom 4882   Fun wfun 5448   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RR*cxr 9119    < clt 9120    - cmin 9291   RR+crp 10612   abscabs 12039   TopOpenctopn 13649   * Metcxmt 16686   ballcbl 16688  ℂfldccnfld 16703   lim CC climc 19749
This theorem is referenced by:  dveflem  19863  dvferm1  19869  dvferm2  19871  lhop1  19898  ftc1lem6  19925  ulmdvlem3  20318  ftc1cnnc  26279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cnp 17292  df-xms 18350  df-ms 18351  df-limc 19753
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