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Theorem ellimc3 19245
Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimc3.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
ellimc3.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
ellimc3.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
ellimc3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, y, z    ph, x, y, z   
x, F, y, z

Proof of Theorem ellimc3
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellimc3.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 ellimc3.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
3 ellimc3.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 eqid 2296 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
51, 2, 3, 4ellimc2 19243 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. u  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
6 cnxmet 18298 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
76a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
8 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
9 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
10 blcntr 17980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
12 rpxr 10377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
1312adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR* )
144cnfldtopn 18307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
1514blopn 18062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  x  e.  RR* )  ->  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
167, 8, 13, 15syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
17 eleq2 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( C  e.  u  <->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
18 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
1918anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
2019rexbidv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  <->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
2117, 20imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) ) )
2221rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  e.  (
TopOpen ` fld )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  ( C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) ) )
2316, 22syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  ( C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) ) )
2411, 23mpid 37 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
2514mopni2 18055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  v
)  ->  E. y  e.  RR+  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  C_  v )
266, 25mp3an1 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  v
)  ->  E. y  e.  RR+  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  C_  v )
27 ssrin 3407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) )  C_  (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )
28 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( v  i^i  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F " (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) ) )
29 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( F " ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  ( ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3130com12 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  ( F " (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) )
3231reximdv 2667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( E. y  e.  RR+  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3326, 32syl5com 26 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  v
)  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3433impr 602 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  ( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
3534rexlimiva 2675 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
3624, 35syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3736ralrimdva 2646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3814mopni2 18055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  C  e.  u
)  ->  E. x  e.  RR+  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  C_  u )
396, 38mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  C  e.  u
)  ->  E. x  e.  RR+  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  C_  u )
40 r19.29r 2697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. x  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. x  e.  RR+  (
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) 
C_  u  /\  E. y  e.  RR+  ( F
" ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
416a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
423ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
43 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
4443rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR* )
4514blopn 18062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  B  e.  CC  /\  y  e.  RR* )  ->  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
4641, 42, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
47 blcntr 17980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  B  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
4841, 42, 43, 47syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
49 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( B  e.  v  <->  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
50 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( v  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )
5150imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  =  ( F " (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) )
5251sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  <->  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
5349, 52anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) )  <->  ( B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  /\  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) ) )
5453rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  ( B  e.  ( B
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  /\  ( F
" ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) )
5554expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  ( ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
5646, 48, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
5756rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
58 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )
5958com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
6059anim2d 548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) )  ->  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )
) )
6160reximdv 2667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6257, 61syl9 66 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) 
C_  u  ->  ( E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6362imp3a 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  C_  u  /\  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6463rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( E. x  e.  RR+  (
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) 
C_  u  /\  E. y  e.  RR+  ( F
" ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6540, 64syl5 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( E. x  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6665exp3a 425 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6739, 66syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  C  e.  u
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6867expdimp 426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( C  e.  u  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6968com23 72 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) ) ) )
7069ralrimdva 2646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
7137, 70impbid 183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
721ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : A --> CC )
73 ffun 5407 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> CC  ->  Fun 
F )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  Fun  F )
75 inss2 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  C_  ( A  \  { B }
)
76 difss 3316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
77 fdm 5409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
7872, 77syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  dom  F  =  A )
7976, 78syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A  \  { B } )  C_  dom  F )
8075, 79syl5ss 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) )  C_  dom  F )
81 funimass4 5589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
8274, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
836a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
84 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
y  e.  RR+ )
8584rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
y  e.  RR* )
863ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
8776, 2syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
8887ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A  \  { B } )  C_  CC )
8988sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  CC )
90 elbl3 17967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  RR* )  /\  ( B  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z
( abs  o.  -  ) B )  <  y
) )
9183, 85, 86, 89, 90syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z
( abs  o.  -  ) B )  <  y
) )
92 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
9392cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( z ( abs 
o.  -  ) B
)  =  ( abs `  ( z  -  B
) ) )
9489, 86, 93syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z ( abs 
o.  -  ) B
)  =  ( abs `  ( z  -  B
) ) )
9594breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( z ( abs  o.  -  ) B )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y ) )
9691, 95bitrd 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
) )
97 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  RR+ )
9897rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  RR* )
99 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  C  e.  CC )
100 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  e.  A )
101 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> CC  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
10272, 100, 101syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
103 elbl3 17967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( C  e.  CC  /\  ( F `
 z )  e.  CC ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  ( ( F `  z )
( abs  o.  -  ) C )  <  x
) )
10483, 98, 99, 102, 103syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  ( ( F `  z )
( abs  o.  -  ) C )  <  x
) )
10592cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) ) )
106102, 99, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) ) )
107106breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( F `
 z ) ( abs  o.  -  ) C )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C ) )  <  x ) )
108104, 107bitrd 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )
10996, 108imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
110109ralbidva 2572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( z  e.  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
111 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  <->  ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) ) )
112 ancom 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  <->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
113111, 112bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  <->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
114113imbi1i 315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
115 impexp 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  ->  (
z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) ) )
116114, 115bitr2i 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  ->  ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )  <-> 
( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
117116ralbii2 2584 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  A. z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ( F `  z
)  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
118 impexp 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  z  =/=  B
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( z  =/=  B  ->  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
119 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )
120119imbi1i 315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  z  =/=  B )  -> 
( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
121 impexp 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <-> 
( z  =/=  B  ->  ( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
122121imbi2i 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  -> 
( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( z  =/=  B  ->  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
123118, 120, 1223bitr4i 268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
124123ralbii2 2584 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
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)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )
125110, 117, 1243bitr3g 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A. z  e.  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
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) )  <  x
) ) )
12682, 125bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
127126anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
128127rexbidva 2573 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
129128ralbidva 2572 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
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) )  <  y
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) )  <  x
) ) )
13071, 129bitrd 244 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
131130pm5.32da 622 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) ) )
1325, 131bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   "cima 4708    o. ccom 4709   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RR*cxr 8882    < clt 8883    - cmin 9053   RR+crp 10370   abscabs 11735   TopOpenctopn 13342   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387  ℂfldccnfld 16393   lim CC climc 19228
This theorem is referenced by:  dveflem  19342  dvferm1  19348  dvferm2  19350  lhop1  19377  ftc1lem6  19404  ulmdvlem3  19795  ftc1cnnc  25025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cnp 16974  df-xms 17901  df-ms 17902  df-limc 19232
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