Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimits Unicode version

Theorem ellimits 25476
Description: Membership in the class of all limit ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
ellimits.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ellimits  |-  ( A  e.  Limits 
<->  Lim  A )

Proof of Theorem ellimits
StepHypRef Expression
1 df-limits 25427 . . 3  |-  Limits  =  ( ( On  i^i  Fix Bigcup )  \  { (/) } )
21eleq2i 2453 . 2  |-  ( A  e.  Limits 
<->  A  e.  ( ( On  i^i  Fix Bigcup ) 
\  { (/) } ) )
3 eldif 3275 . 2  |-  ( A  e.  ( ( On 
i^i  Fix Bigcup )  \  { (/)
} )  <->  ( A  e.  ( On  i^i  Fix Bigcup )  /\  -.  A  e. 
{ (/) } ) )
4 3anan32 948 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  A  =/=  (/)  /\  A  = 
U. A )  <->  ( ( Ord  A  /\  A  = 
U. A )  /\  A  =/=  (/) ) )
5 df-lim 4529 . . 3  |-  ( Lim 
A  <->  ( Ord  A  /\  A  =/=  (/)  /\  A  =  U. A ) )
6 elin 3475 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( On  i^i  Fix Bigcup )  <->  ( A  e.  On  /\  A  e. 
Fix Bigcup ) )
7 ellimits.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
87elon 4533 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  <->  Ord  A )
97elfix 25469 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Fix Bigcup  <->  A Bigcup A )
107brbigcup 25464 . . . . . . 7  |-  ( A
Bigcup A  <->  U. A  =  A )
11 eqcom 2391 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  A  <->  A  =  U. A )
129, 10, 113bitri 263 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fix Bigcup  <->  A  =  U. A )
138, 12anbi12i 679 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  A  e.  Fix Bigcup )  <->  ( Ord  A  /\  A  =  U. A ) )
146, 13bitri 241 . . . 4  |-  ( A  e.  ( On  i^i  Fix Bigcup )  <->  ( Ord  A  /\  A  =  U. A ) )
157elsnc 3782 . . . . 5  |-  ( A  e.  { (/) }  <->  A  =  (/) )
1615necon3bbii 2583 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  { (/) }  <-> 
A  =/=  (/) )
1714, 16anbi12i 679 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
i^i  Fix Bigcup )  /\  -.  A  e.  { (/) } )  <-> 
( ( Ord  A  /\  A  =  U. A )  /\  A  =/=  (/) ) )
184, 5, 173bitr4ri 270 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
i^i  Fix Bigcup )  /\  -.  A  e.  { (/) } )  <->  Lim  A )
192, 3, 183bitri 263 1  |-  ( A  e.  Limits 
<->  Lim  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   _Vcvv 2901    \ cdif 3262    i^i cin 3264   (/)c0 3573   {csn 3759   U.cuni 3959   class class class wbr 4155   Ord word 4523   Oncon0 4524   Lim wlim 4525   Bigcupcbigcup 25403   Fixcfix 25404   Limitsclimits 25405
This theorem is referenced by:  limitssson  25477  dfom5b  25478  dfrdg4  25515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-fo 5402  df-fv 5404  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-symdif 25388  df-txp 25421  df-bigcup 25425  df-fix 25426  df-limits 25427
  Copyright terms: Public domain W3C validator