Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimits Unicode version

Theorem ellimits 24450
Description: Membership in the class of all limit ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
ellimits.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ellimits  |-  ( A  e.  Limits 
<->  Lim  A )

Proof of Theorem ellimits
StepHypRef Expression
1 df-limits 24401 . . 3  |-  Limits  =  ( ( On  i^i  Fix Bigcup )  \  { (/) } )
21eleq2i 2347 . 2  |-  ( A  e.  Limits 
<->  A  e.  ( ( On  i^i  Fix Bigcup ) 
\  { (/) } ) )
3 eldif 3162 . 2  |-  ( A  e.  ( ( On 
i^i  Fix Bigcup )  \  { (/)
} )  <->  ( A  e.  ( On  i^i  Fix Bigcup )  /\  -.  A  e. 
{ (/) } ) )
4 3anan32 946 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  A  =/=  (/)  /\  A  = 
U. A )  <->  ( ( Ord  A  /\  A  = 
U. A )  /\  A  =/=  (/) ) )
5 df-lim 4397 . . 3  |-  ( Lim 
A  <->  ( Ord  A  /\  A  =/=  (/)  /\  A  =  U. A ) )
6 elin 3358 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( On  i^i  Fix Bigcup )  <->  ( A  e.  On  /\  A  e. 
Fix Bigcup ) )
7 ellimits.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
87elon 4401 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  <->  Ord  A )
97elfix 24443 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Fix Bigcup  <->  A Bigcup A )
107brbigcup 24438 . . . . . . 7  |-  ( A
Bigcup A  <->  U. A  =  A )
11 eqcom 2285 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  A  <->  A  =  U. A )
129, 10, 113bitri 262 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fix Bigcup  <->  A  =  U. A )
138, 12anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  A  e.  Fix Bigcup )  <->  ( Ord  A  /\  A  =  U. A ) )
146, 13bitri 240 . . . 4  |-  ( A  e.  ( On  i^i  Fix Bigcup )  <->  ( Ord  A  /\  A  =  U. A ) )
157elsnc 3663 . . . . 5  |-  ( A  e.  { (/) }  <->  A  =  (/) )
1615necon3bbii 2477 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  { (/) }  <-> 
A  =/=  (/) )
1714, 16anbi12i 678 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
i^i  Fix Bigcup )  /\  -.  A  e.  { (/) } )  <-> 
( ( Ord  A  /\  A  =  U. A )  /\  A  =/=  (/) ) )
184, 5, 173bitr4ri 269 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
i^i  Fix Bigcup )  /\  -.  A  e.  { (/) } )  <->  Lim  A )
192, 3, 183bitri 262 1  |-  ( A  e.  Limits 
<->  Lim  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   Bigcupcbigcup 24377   Fixcfix 24378   Limitsclimits 24379
This theorem is referenced by:  limitssson  24451  dfom5b  24452  dfrdg4  24488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-symdif 24362  df-txp 24395  df-bigcup 24399  df-fix 24400  df-limits 24401
  Copyright terms: Public domain W3C validator