Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellines Structured version   Unicode version

Theorem ellines 26086
 Description: Membership in the set of all lines. (Contributed by Scott Fenton, 28-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
ellines LinesEE Line
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem ellines
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2964 . 2 LinesEE
2 ovex 6106 . . . . . . 7 Line
3 eleq1 2496 . . . . . . 7 Line Line
42, 3mpbiri 225 . . . . . 6 Line
54adantl 453 . . . . 5 Line
65rexlimivw 2826 . . . 4 Line
76a1i 11 . . 3 Line
87rexlimivv 2835 . 2 Line
9 eleq1 2496 . . 3 LinesEE LinesEE
10 eqeq1 2442 . . . . . 6 Line Line
1110anbi2d 685 . . . . 5 Line Line
1211rexbidv 2726 . . . 4 Line Line
13122rexbidv 2748 . . 3 Line Line
14 df-lines2 26073 . . . . . 6 LinesEE Line
15 df-line2 26071 . . . . . . 7 Line
1615rneqi 5096 . . . . . 6 Line
17 rnoprab 6156 . . . . . 6
1814, 16, 173eqtri 2460 . . . . 5 LinesEE
1918eleq2i 2500 . . . 4 LinesEE
20 abid 2424 . . . . 5
21 df-rex 2711 . . . . . . 7
22212exbii 1593 . . . . . 6
23 exrot3 1759 . . . . . . 7 Line Line
24 r2ex 2743 . . . . . . . 8 Line Line
25 r19.42v 2862 . . . . . . . . . 10 Line Line
26 df-rex 2711 . . . . . . . . . 10 Line Line
2725, 26bitr3i 243 . . . . . . . . 9 Line Line
28272exbii 1593 . . . . . . . 8 Line Line
2924, 28bitri 241 . . . . . . 7 Line Line
30 anass 631 . . . . . . . . . 10 Line Line
31 anass 631 . . . . . . . . . . 11 Line Line
32 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14
33 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
3633, 34, 353jca 1134 . . . . . . . . . . . . . 14
3732, 36jca 519 . . . . . . . . . . . . 13
38 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . . . 15
4138, 39, 40jca32 522 . . . . . . . . . . . . . 14
42 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . 14
4341, 42jca 519 . . . . . . . . . . . . 13
4437, 43impbii 181 . . . . . . . . . . . 12
4544anbi1i 677 . . . . . . . . . . 11 Line Line
4631, 45bitr3i 243 . . . . . . . . . 10 Line Line
4730, 46bitr3i 243 . . . . . . . . 9 Line Line
48 fvline 26078 . . . . . . . . . . . 12 Line
49 opex 4427 . . . . . . . . . . . . . 14
50 dfec2 6908 . . . . . . . . . . . . . 14
5149, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
52 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15
5349, 52brcnv 5055 . . . . . . . . . . . . . 14
5453abbii 2548 . . . . . . . . . . . . 13
5551, 54eqtri 2456 . . . . . . . . . . . 12
5648, 55syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . 11 Line
5756eqeq2d 2447 . . . . . . . . . 10 Line
5857pm5.32i 619 . . . . . . . . 9 Line
59 anass 631 . . . . . . . . 9
6047, 58, 593bitrri 264 . . . . . . . 8 Line
61603exbii 1594 . . . . . . 7 Line
6223, 29, 613bitr4ri 270 . . . . . 6 Line
6322, 62bitri 241 . . . . 5 Line
6420, 63bitri 241 . . . 4 Line
6519, 64bitri 241 . . 3 LinesEE Line
669, 13, 65vtoclbg 3012 . 2 LinesEE Line
671, 8, 66pm5.21nii 343 1 LinesEE Line
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422   wne 2599  wrex 2706  cvv 2956  cop 3817   class class class wbr 4212  ccnv 4877   crn 4879  cfv 5454  (class class class)co 6081  coprab 6082  cec 6903  cn 10000  cee 25827   ccolin 25971  Linecline2 26068  LinesEEclines2 26070 This theorem is referenced by:  linethru  26087  hilbert1.1  26088 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-ec 6907  df-nn 10001  df-colinear 25975  df-line2 26071  df-lines2 26073
 Copyright terms: Public domain W3C validator