MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello12 Structured version   Unicode version

Theorem ello12 12303
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ello12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem ello12
StepHypRef Expression
1 reex 9074 . . . 4  |-  RR  e.  _V
2 elpm2r 7027 . . . 4  |-  ( ( ( RR  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( RR  ^pm  RR ) )
31, 1, 2mpanl12 664 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( RR  ^pm 
RR ) )
4 ello1 12302 . . . 4  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `
 y )  <_  m ) )
54baib 872 . . 3  |-  ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  ->  ( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) 
+oo ) ) ( F `  y )  <_  m ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `
 y )  <_  m ) )
7 elin 3523 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo ) ) )
8 fdm 5588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
98ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  dom  F  =  A )
109eleq2d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  A ) )
1110anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  ( x [,)  +oo ) ) ) )
12 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
13 elicopnf 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  ( x [,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,)  +oo ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  x  <_  y )
) )
15 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1615sselda 3341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
1716biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1814, 17bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,)  +oo ) 
<->  x  <_  y )
)
1918pm5.32da 623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  A  /\  y  e.  (
x [,)  +oo ) )  <-> 
( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2011, 19bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) ) )
217, 20syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  i^i  ( x [,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2221imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,)  +oo ) )  ->  ( F `  y )  <_  m
)  <->  ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
23 impexp 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( F `  y )  <_  m
)  <->  ( y  e.  A  ->  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
2422, 23syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,)  +oo ) )  ->  ( F `  y )  <_  m
)  <->  ( y  e.  A  ->  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) ) )
2524ralbidv2 2720 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `  y )  <_  m  <->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
2625rexbidva 2715 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `
 y )  <_  m 
<->  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
2726rexbidva 2715 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `
 y )  <_  m 
<->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
286, 27bitrd 245 1  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2698   E.wrex 2699   _Vcvv 2949    i^i cin 3312    C_ wss 3313   class class class wbr 4205   dom cdm 4871   -->wf 5443   ` cfv 5447  (class class class)co 6074    ^pm cpm 7012   RRcr 8982    +oocpnf 9110    <_ cle 9114   [,)cico 10911   <_ O ( 1 )clo1 12274
This theorem is referenced by:  ello12r  12304  lo1bdd  12307  ello1mpt  12308  lo1o1  12319  lo1res  12346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-er 6898  df-pm 7014  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-ico 10915  df-lo1 12278
  Copyright terms: Public domain W3C validator