MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello12 Unicode version

Theorem ello12 12237
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ello12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem ello12
StepHypRef Expression
1 reex 9014 . . . 4  |-  RR  e.  _V
2 elpm2r 6970 . . . 4  |-  ( ( ( RR  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( RR  ^pm  RR ) )
31, 1, 2mpanl12 664 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( RR  ^pm 
RR ) )
4 ello1 12236 . . . 4  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `
 y )  <_  m ) )
54baib 872 . . 3  |-  ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  ->  ( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) 
+oo ) ) ( F `  y )  <_  m ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `
 y )  <_  m ) )
7 elin 3473 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo ) ) )
8 fdm 5535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
98ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  dom  F  =  A )
109eleq2d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  A ) )
1110anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  ( x [,)  +oo ) ) ) )
12 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
13 elicopnf 10932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  ( x [,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,)  +oo ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  x  <_  y )
) )
15 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1615sselda 3291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
1716biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1814, 17bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,)  +oo ) 
<->  x  <_  y )
)
1918pm5.32da 623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  A  /\  y  e.  (
x [,)  +oo ) )  <-> 
( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2011, 19bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) ) )
217, 20syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  i^i  ( x [,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2221imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,)  +oo ) )  ->  ( F `  y )  <_  m
)  <->  ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
23 impexp 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( F `  y )  <_  m
)  <->  ( y  e.  A  ->  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
2422, 23syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,)  +oo ) )  ->  ( F `  y )  <_  m
)  <->  ( y  e.  A  ->  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) ) )
2524ralbidv2 2671 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `  y )  <_  m  <->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
2625rexbidva 2666 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `
 y )  <_  m 
<->  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
2726rexbidva 2666 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `
 y )  <_  m 
<->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
286, 27bitrd 245 1  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650   _Vcvv 2899    i^i cin 3262    C_ wss 3263   class class class wbr 4153   dom cdm 4818   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    ^pm cpm 6955   RRcr 8922    +oocpnf 9050    <_ cle 9054   [,)cico 10850   <_ O ( 1 )clo1 12208
This theorem is referenced by:  ello12r  12238  lo1bdd  12241  ello1mpt  12242  lo1o1  12253  lo1res  12280
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-er 6841  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-ico 10854  df-lo1 12212
  Copyright terms: Public domain W3C validator