MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello12 Unicode version

Theorem ello12 12006
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ello12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem ello12
StepHypRef Expression
1 reex 8844 . . . 4  |-  RR  e.  _V
2 elpm2r 6804 . . . 4  |-  ( ( ( RR  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( RR  ^pm  RR ) )
31, 1, 2mpanl12 663 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( RR  ^pm 
RR ) )
4 ello1 12005 . . . 4  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  /\  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `
 y )  <_  m ) )
54baib 871 . . 3  |-  ( F  e.  ( RR  ^pm  RR )  ->  ( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) 
+oo ) ) ( F `  y )  <_  m ) )
63, 5syl 15 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `
 y )  <_  m ) )
7 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo ) ) )
8 fdm 5409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
98ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  dom  F  =  A )
109eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  A ) )
1110anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  ( x [,)  +oo ) ) ) )
12 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
13 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  ( x [,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,)  +oo ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  x  <_  y )
) )
15 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1615sselda 3193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
1716biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1814, 17bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,)  +oo ) 
<->  x  <_  y )
)
1918pm5.32da 622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  A  /\  y  e.  (
x [,)  +oo ) )  <-> 
( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2011, 19bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) ) )
217, 20syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  i^i  ( x [,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2221imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,)  +oo ) )  ->  ( F `  y )  <_  m
)  <->  ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
23 impexp 433 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( F `  y )  <_  m
)  <->  ( y  e.  A  ->  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
2422, 23syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,)  +oo ) )  ->  ( F `  y )  <_  m
)  <->  ( y  e.  A  ->  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) ) )
2524ralbidv2 2578 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `  y )  <_  m  <->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
2625rexbidva 2573 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `
 y )  <_  m 
<->  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
2726rexbidva 2573 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( F `
 y )  <_  m 
<->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
286, 27bitrd 244 1  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^pm cpm 6789   RRcr 8752    +oocpnf 8880    <_ cle 8884   [,)cico 10674   <_ O ( 1 )clo1 11977
This theorem is referenced by:  ello12r  12007  lo1bdd  12010  ello1mpt  12011  lo1o1  12022  lo1res  12049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-lo1 11981
  Copyright terms: Public domain W3C validator