MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1d Unicode version

Theorem ello1d 11997
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ello1mpt.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
ello1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
ello1d.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
ello1d.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  <_  M )
Assertion
Ref Expression
ello1d  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, M
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ello1d
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2 ello1d.4 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3 ello1d.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  <_  M )
43expr 598 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) )
54ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) )
6 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
y  <_  x  <->  C  <_  x ) )
76imbi1d 308 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
87ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( y  =  C  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
9 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( B  <_  m  <->  B  <_  M ) )
109imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( C  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) ) )
1110ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) ) )
128, 11rspc2ev 2892 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) )
131, 2, 5, 12syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) )
14 ello1mpt.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
15 ello1mpt.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1614, 15ello1mpt 11995 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
1713, 16mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   RRcr 8736    <_ cle 8868   <_ O ( 1 )clo1 11961
This theorem is referenced by:  elo1d  12010  o1lo12  12012  icco1  12014  lo1const  12094  dirith2  20677  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem6  20732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ico 10662  df-lo1 11965
  Copyright terms: Public domain W3C validator