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Theorem ello1d 12044
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ello1mpt.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
ello1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
ello1d.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
ello1d.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  <_  M )
Assertion
Ref Expression
ello1d  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, M
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ello1d
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2 ello1d.4 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3 ello1d.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  <_  M )
43expr 598 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) )
54ralrimiva 2660 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) )
6 breq1 4063 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
y  <_  x  <->  C  <_  x ) )
76imbi1d 308 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
87ralbidv 2597 . . . 4  |-  ( y  =  C  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
9 breq2 4064 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( B  <_  m  <->  B  <_  M ) )
109imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( C  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) ) )
1110ralbidv 2597 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) ) )
128, 11rspc2ev 2926 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) )
131, 2, 5, 12syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) )
14 ello1mpt.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
15 ello1mpt.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1614, 15ello1mpt 12042 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
1713, 16mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578    C_ wss 3186   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   RRcr 8781    <_ cle 8913   <_ O ( 1 )clo1 12008
This theorem is referenced by:  elo1d  12057  o1lo12  12059  icco1  12061  lo1const  12141  dirith2  20730  pntrlog2bndlem4  20782  pntrlog2bndlem6  20785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-er 6702  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-ico 10709  df-lo1 12012
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