MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1mpt Unicode version

Theorem ello1mpt 12011
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ello1mpt.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ello1mpt  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y    ph, m, x, y
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ello1mpt
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 5700 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
4 ello1mpt.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5 ello12 12006 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )
) )
63, 4, 5syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )
) )
7 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ x  y  <_  z
8 nfmpt1 4125 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
9 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
z
108, 9nffv 5548 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
11 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <_
12 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ x m
1310, 11, 12nfbr 4083 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
147, 13nfim 1781 . . . . 5  |-  F/ x
( y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
)
15 nfv 1609 . . . . 5  |-  F/ z ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m
)
16 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <_  z  <->  y  <_  x ) )
17 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
1817breq1d 4049 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m  <->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <_  m )
)
1916, 18imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
)  <->  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <_  m ) ) )
2014, 15, 19cbvral 2773 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <_  m )
)
21 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
222fvmpt2 5624 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
2321, 1, 22syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
2423breq1d 4049 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m  <->  B  <_  m ) )
2524imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m
)  <->  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
2625ralbidva 2572 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
2720, 26syl5bb 248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
28272rexbidv 2599 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
296, 28bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271   RRcr 8752    <_ cle 8884   <_ O ( 1 )clo1 11977
This theorem is referenced by:  ello1mpt2  12012  ello1d  12013  elo1mpt  12024  o1lo1  12027  lo1resb  12054  lo1add  12116  lo1mul  12117  lo1le  12141
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-lo1 11981
  Copyright terms: Public domain W3C validator