Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1mpt Unicode version

Theorem ello1mpt 12011
 Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1
ello1mpt.2
Assertion
Ref Expression
ello1mpt
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ello1mpt
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.2 . . . 4
2 eqid 2296 . . . 4
31, 2fmptd 5700 . . 3
4 ello1mpt.1 . . 3
5 ello12 12006 . . 3
63, 4, 5syl2anc 642 . 2
7 nfv 1609 . . . . . 6
8 nfmpt1 4125 . . . . . . . 8
9 nfcv 2432 . . . . . . . 8
108, 9nffv 5548 . . . . . . 7
11 nfcv 2432 . . . . . . 7
12 nfcv 2432 . . . . . . 7
1310, 11, 12nfbr 4083 . . . . . 6
147, 13nfim 1781 . . . . 5
15 nfv 1609 . . . . 5
16 breq2 4043 . . . . . 6
17 fveq2 5541 . . . . . . 7
1817breq1d 4049 . . . . . 6
1916, 18imbi12d 311 . . . . 5
2014, 15, 19cbvral 2773 . . . 4
21 simpr 447 . . . . . . . 8
222fvmpt2 5624 . . . . . . . 8
2321, 1, 22syl2anc 642 . . . . . . 7
2423breq1d 4049 . . . . . 6
2524imbi2d 307 . . . . 5
2625ralbidva 2572 . . . 4
2720, 26syl5bb 248 . . 3
28272rexbidv 2599 . 2
296, 28bitrd 244 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557   wss 3165   class class class wbr 4039   cmpt 4093  wf 5267  cfv 5271  cr 8752   cle 8884  clo1 11977 This theorem is referenced by:  ello1mpt2  12012  ello1d  12013  elo1mpt  12024  o1lo1  12027  lo1resb  12054  lo1add  12116  lo1mul  12117  lo1le  12141 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-lo1 11981
 Copyright terms: Public domain W3C validator