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Theorem ello1mpt 12317
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ello1mpt.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ello1mpt  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y    ph, m, x, y
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ello1mpt
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 5895 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
4 ello1mpt.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5 ello12 12312 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )
) )
63, 4, 5syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )
) )
7 nfv 1630 . . . . . 6  |-  F/ x  y  <_  z
8 nffvmpt1 5738 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
9 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <_
10 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ x m
118, 9, 10nfbr 4258 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
127, 11nfim 1833 . . . . 5  |-  F/ x
( y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
)
13 nfv 1630 . . . . 5  |-  F/ z ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m
)
14 breq2 4218 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <_  z  <->  y  <_  x ) )
15 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
1615breq1d 4224 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m  <->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <_  m )
)
1714, 16imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
)  <->  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <_  m ) ) )
1812, 13, 17cbvral 2930 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <_  m )
)
19 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
202fvmpt2 5814 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
2119, 1, 20syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
2221breq1d 4224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m  <->  B  <_  m ) )
2322imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m
)  <->  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
2423ralbidva 2723 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
2518, 24syl5bb 250 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
26252rexbidv 2750 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
276, 26bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   -->wf 5452   ` cfv 5456   RRcr 8991    <_ cle 9123   <_ O ( 1 )clo1 12283
This theorem is referenced by:  ello1mpt2  12318  ello1d  12319  elo1mpt  12330  o1lo1  12333  lo1resb  12360  lo1add  12422  lo1mul  12423  lo1le  12447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-ico 10924  df-lo1 12287
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