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Theorem ello1mpt 11995
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ello1mpt.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ello1mpt  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y    ph, m, x, y
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ello1mpt
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
4 ello1mpt.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5 ello12 11990 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )
) )
63, 4, 5syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )
) )
7 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ x  y  <_  z
8 nfmpt1 4109 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
9 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
z
108, 9nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
11 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <_
12 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x m
1310, 11, 12nfbr 4067 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
147, 13nfim 1769 . . . . 5  |-  F/ x
( y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
)
15 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ z ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m
)
16 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <_  z  <->  y  <_  x ) )
17 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
1817breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m  <->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <_  m )
)
1916, 18imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
)  <->  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <_  m ) ) )
2014, 15, 19cbvral 2760 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <_  m )
)
21 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
222fvmpt2 5608 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
2321, 1, 22syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
2423breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m  <->  B  <_  m ) )
2524imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m
)  <->  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
2625ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
2720, 26syl5bb 248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
28272rexbidv 2586 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
296, 28bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255   RRcr 8736    <_ cle 8868   <_ O ( 1 )clo1 11961
This theorem is referenced by:  ello1mpt2  11996  ello1d  11997  elo1mpt  12008  o1lo1  12011  lo1resb  12038  lo1add  12100  lo1mul  12101  lo1le  12125
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ico 10662  df-lo1 11965
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