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Theorem ello1mpt2 12012
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ello1mpt.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
ello1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ello1mpt2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  ( C [,)  +oo ) E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y    C, m, x, y    ph, m, x, y
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ello1mpt2
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 ello1mpt.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
31, 2ello1mpt 12011 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
4 ello1d.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5 rexico 11853 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  ( C [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
61, 4, 5syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( C [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
76rexbidv 2577 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  RR  E. y  e.  ( C [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. m  e.  RR  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
8 rexcom 2714 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( C [,)  +oo ) E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
)  <->  E. m  e.  RR  E. y  e.  ( C [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) )
9 rexcom 2714 . . 3  |-  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. m  e.  RR  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) )
107, 8, 93bitr4g 279 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( C [,)  +oo ) E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
113, 10bitr4d 247 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  ( C [,)  +oo ) E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093  (class class class)co 5874   RRcr 8752    +oocpnf 8880    <_ cle 8884   [,)cico 10674   <_
O ( 1 )clo1 11977
This theorem is referenced by:  lo1bdd2  12014  elo1mpt2  12025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-lo1 11981
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