MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmap Structured version   Unicode version

Theorem elmap 7042
Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
elmap.1  |-  A  e. 
_V
elmap.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
elmap  |-  ( F  e.  ( A  ^m  B )  <->  F : B
--> A )

Proof of Theorem elmap
StepHypRef Expression
1 elmap.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 elmap.2 . 2  |-  B  e. 
_V
3 elmapg 7031 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( A  ^m  B )  <-> 
F : B --> A ) )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  ( F  e.  ( A  ^m  B )  <->  F : B
--> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   -->wf 5450  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018
This theorem is referenced by:  mapval2  7043  fvmptmap  7050  mapsn  7055  mapsnconst  7059  mapsncnv  7060  xpmapenlem  7274  pwfseqlem3  8535  tskcard  8656  ingru  8690  rpnnen1lem1  10600  rpnnen1lem3  10602  rpnnen1lem4  10603  rpnnen1lem5  10604  prmreclem2  13285  1arith  13295  vdwlem6  13354  vdwlem7  13355  vdwlem8  13356  vdwlem9  13357  vdwlem11  13359  vdwlem13  13361  isfunc  14061  isfuncd  14062  idfucl  14078  cofucl  14085  funcres2b  14094  wunfunc  14096  catcfuccl  14264  ismhm  14740  symgval  15094  dfrhm2  15821  isabv  15907  psrelbas  16444  psraddcl  16447  psrmulcllem  16451  psrvscacl  16457  psr0cl  16458  psrnegcl  16460  psr1cl  16466  subrgpsr  16482  mvrf  16488  mplmon  16526  mplcoe1  16528  coe1fval3  16606  00ply1bas  16634  ply1plusgfvi  16636  coe1z  16656  coe1mul2  16662  coe1tm  16665  pjdm  16934  pjfval2  16936  pnrmopn  17407  distgp  18129  indistgp  18130  elovolm  19371  elovolmr  19372  ovolmge0  19373  ovolgelb  19376  ovolunlem1a  19392  ovolunlem1  19393  ovoliunlem1  19398  ovoliunlem2  19399  ovolshftlem2  19406  ovolicc2  19418  ioombl1  19456  itg2seq  19634  coeeulem  20143  coeeq  20146  aannenlem1  20245  dvntaylp  20287  taylthlem1  20289  taylthlem2  20290  pserdvlem2  20344  sqff1o  20965  islno  22254  nmooval  22264  ajfval  22310  h2hcau  22482  h2hlm  22483  hcau  22686  hlimadd  22695  hhcms  22705  hlim0  22738  hhsscms  22779  pjmf1  23218  hosmval  23238  hommval  23239  hodmval  23240  hfsmval  23241  hfmmval  23242  elcnop  23360  ellnop  23361  elhmop  23376  hmopex  23378  nlfnval  23384  elcnfn  23385  ellnfn  23386  dmadjss  23390  dmadjop  23391  adjeu  23392  adjval  23393  hhcno  23407  hhcnf  23408  adjbdln  23586  isst  23716  ishst  23717  lgamgulmlem6  24818  elee  25833  isrngohom  26581  constmap  26767  mzpclall  26784  mzpf  26793  mzpindd  26803  mzpcompact2lem  26808  eldiophb  26815  mendrng  27477  islfl  29858  islpolN  32281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020
  Copyright terms: Public domain W3C validator