MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapex Unicode version

Theorem elmapex 6934
Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapex  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )

Proof of Theorem elmapex
StepHypRef Expression
1 n0i 3548 . 2  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  -.  ( B  ^m  C )  =  (/) )
2 fnmap 6922 . . . 4  |-  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )
3 fndm 5448 . . . 4  |-  (  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  dom  ^m  =  ( _V  X.  _V )
)
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  dom  ^m  =  ( _V  X.  _V )
54ndmov 6131 . 2  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( B  ^m  C
)  =  (/) )
61, 5nsyl2 119 1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   _Vcvv 2873   (/)c0 3543    X. cxp 4790   dom cdm 4792    Fn wfn 5353  (class class class)co 5981    ^m cmap 6915
This theorem is referenced by:  elmapi  6935  mapsspm  6944  mapss  6953  mapdom1  7169  wemapwe  7547  isf34lem6  8153  ralxpmap  26267  elmapssres  26298  mapfzcons  26299  elmapresaun  26356  mndvcl  26952  mndvass  26953  mndvlid  26954  mndvrid  26955  grpvlinv  26956  grpvrinv  26957  mhmvlin  26958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6917
  Copyright terms: Public domain W3C validator