MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapex Unicode version

Theorem elmapex 6791
Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapex  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )

Proof of Theorem elmapex
StepHypRef Expression
1 n0i 3460 . 2  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  -.  ( B  ^m  C )  =  (/) )
2 fnmap 6779 . . . 4  |-  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )
3 fndm 5343 . . . 4  |-  (  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  dom  ^m  =  ( _V  X.  _V )
)
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  dom  ^m  =  ( _V  X.  _V )
54ndmov 6004 . 2  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( B  ^m  C
)  =  (/) )
61, 5nsyl2 119 1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455    X. cxp 4687   dom cdm 4689    Fn wfn 5250  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772
This theorem is referenced by:  elmapi  6792  mapsspm  6801  mapss  6810  mapdom1  7026  wemapwe  7400  isf34lem6  8006  ralxpmap  26761  elmapssres  26792  mapfzcons  26793  elmapresaun  26850  mndvcl  27446  mndvass  27447  mndvlid  27448  mndvrid  27449  grpvlinv  27450  grpvrinv  27451  mhmvlin  27452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774
  Copyright terms: Public domain W3C validator