MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapex Structured version   Unicode version

Theorem elmapex 7040
Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapex  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )

Proof of Theorem elmapex
StepHypRef Expression
1 n0i 3635 . 2  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  -.  ( B  ^m  C )  =  (/) )
2 fnmap 7028 . . . 4  |-  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )
3 fndm 5547 . . . 4  |-  (  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  dom  ^m  =  ( _V  X.  _V )
)
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  dom  ^m  =  ( _V  X.  _V )
54ndmov 6234 . 2  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( B  ^m  C
)  =  (/) )
61, 5nsyl2 122 1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   (/)c0 3630    X. cxp 4879   dom cdm 4881    Fn wfn 5452  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021
This theorem is referenced by:  elmapi  7041  mapsspm  7050  mapss  7059  mapdom1  7275  wemapwe  7657  isf34lem6  8265  ralxpmap  26756  elmapssres  26785  mapfzcons  26786  elmapresaun  26843  mndvcl  27437  mndvass  27438  mndvlid  27439  mndvrid  27440  grpvlinv  27441  grpvrinv  27442  mhmvlin  27443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-map 7023
  Copyright terms: Public domain W3C validator