MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapex Unicode version

Theorem elmapex 7004
Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapex  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )

Proof of Theorem elmapex
StepHypRef Expression
1 n0i 3601 . 2  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  -.  ( B  ^m  C )  =  (/) )
2 fnmap 6992 . . . 4  |-  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )
3 fndm 5511 . . . 4  |-  (  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  dom  ^m  =  ( _V  X.  _V )
)
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  dom  ^m  =  ( _V  X.  _V )
54ndmov 6198 . 2  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( B  ^m  C
)  =  (/) )
61, 5nsyl2 121 1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924   (/)c0 3596    X. cxp 4843   dom cdm 4845    Fn wfn 5416  (class class class)co 6048    ^m cmap 6985
This theorem is referenced by:  elmapi  7005  mapsspm  7014  mapss  7023  mapdom1  7239  wemapwe  7618  isf34lem6  8224  ralxpmap  26640  elmapssres  26669  mapfzcons  26670  elmapresaun  26727  mndvcl  27322  mndvass  27323  mndvlid  27324  mndvrid  27325  grpvlinv  27326  grpvrinv  27327  mhmvlin  27328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-map 6987
  Copyright terms: Public domain W3C validator