MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapg Structured version   Unicode version

Theorem elmapg 7023
Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C  e.  ( A  ^m  B )  <-> 
C : B --> A ) )

Proof of Theorem elmapg
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapvalg 7020 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  ^m  B
)  =  { g  |  g : B --> A } )
21eleq2d 2502 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C  e.  ( A  ^m  B )  <-> 
C  e.  { g  |  g : B --> A } ) )
3 fex2 5595 . . . . 5  |-  ( ( C : B --> A  /\  B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  C  e.  _V )
433com13 1158 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C : B --> A )  ->  C  e.  _V )
543expia 1155 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C : B --> A  ->  C  e.  _V ) )
6 feq1 5568 . . . 4  |-  ( g  =  C  ->  (
g : B --> A  <->  C : B
--> A ) )
76elab3g 3080 . . 3  |-  ( ( C : B --> A  ->  C  e.  _V )  ->  ( C  e.  {
g  |  g : B --> A }  <->  C : B
--> A ) )
85, 7syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C  e.  {
g  |  g : B --> A }  <->  C : B
--> A ) )
92, 8bitrd 245 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C  e.  ( A  ^m  B )  <-> 
C : B --> A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   {cab 2421   _Vcvv 2948   -->wf 5442  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010
This theorem is referenced by:  elmapi  7030  elmap  7034  map0e  7043  map0g  7045  mapss  7048  fdiagfn  7049  ixpssmap2g  7083  map1  7177  pw2f1olem  7204  mapen  7263  mapxpen  7265  mapunen  7268  f1finf1o  7327  cantnfs  7613  mapfien  7645  fseqenlem1  7897  fseqdom  7899  acni  7918  infpwfien  7935  infmap2  8090  fin23lem17  8210  fin23lem32  8216  fin23lem39  8222  isf34lem6  8252  iundom2g  8407  wunf  8594  gruurn  8665  intgru  8681  grutsk1  8688  hashfacen  11695  hashf1lem1  11696  hashf1lem2  11697  wrdval  11722  vdwlem4  13344  vdwlem9  13349  vdwlem10  13350  vdwlem11  13351  vdwlem13  13353  vdw  13354  vdwnnlem1  13355  rami  13375  ramcl  13389  prdsplusg  13673  prdsmulr  13674  prdsvsca  13675  pwselbasb  13702  elsetchom  14228  setcco  14230  isga  15060  symgbas  15087  psrbag  16423  iscn  17291  iscnp  17293  cndis  17347  cnindis  17348  cnpdis  17349  hausmapdom  17555  xkoptsub  17678  xkopjcn  17680  indishmph  17822  pt1hmeo  17830  flfval  18014  fcfval  18057  tmdgsum2  18118  symgtgp  18123  tsmsxplem2  18175  isucn  18300  ispsmet  18327  ismet  18345  isxmet  18346  imasdsf1olem  18395  elcncf  18911  metcld2  19251  evlsval2  19933  elply2  20107  plyf  20109  elplyr  20112  plyeq0lem  20121  plyeq0  20122  plyaddlem  20126  plymullem  20127  dgrlem  20140  coeidlem  20148  ulmval  20288  ulmss  20305  ulmcn  20307  mtest  20312  pserulm  20330  dchrfi  21031  isch2  22718  indf1ofs  24415  mbfmcst  24601  1stmbfm  24602  2ndmbfm  24603  imambfm  24604  mbfmco  24606  mbfmcnt  24610  sibfof  24646  isrrvv  24693  deranglem  24844  indispcon  24913  fvopabf4g  26413  sdclem2  26437  sdclem1  26438  ismtyval  26500  rrncmslem  26532  ralxpmap  26733  mapco2g  26760  elmapssres  26762  mapfzcons  26763  mzpindd  26794  mzpsubst  26796  mzprename  26797  diophrw  26808  elmapresaun  26820  pw2f1ocnv  27099  frlmbas  27191  frlmbasf  27196  uvcff  27208  frlmsplit2  27211  elfilspd  27223  mndvcl  27414  mamucl  27424  mamudiagcl  27425  mamuvs1  27431  mamuvs2  27432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012
  Copyright terms: Public domain W3C validator