Theorem elmapg 4339

Description: Membership relation for set exponentiation.

Assertion

Ref	Expression
elmapg	|- ((A e. R /\ B e. S) -> (C e. (A ^m B) <-> C:B-->A))

Proof of Theorem elmapg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 4336	. . 3 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (A ^m B) = {g | g:B-->A})
2	1	eleq2d 1544	. 2 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (C e. (A ^m B) <-> C e. {g | g:B-->A}))
3		fex 3658	. . . . 5 |- ((C:B-->A /\ B e. S) -> C e. V)
4	3	expcom 374	. . . 4 |- (B e. S -> (C:B-->A -> C e. V))
5	4	adantl 390	. . 3 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (C:B-->A -> C e. V))
6		feq1 3626	. . . 4 |- (g = C -> (g:B-->A <-> C:B-->A))
7	6	elab3g 1905	. . 3 |- ((C:B-->A -> C e. V) -> (C e. {g | g:B-->A} <-> C:B-->A))
8	5, 7	syl 10	. 2 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (C e. {g | g:B-->A} <-> C:B-->A))
9	2, 8	bitrd 530	1 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (C e. (A ^m B) <-> C:B-->A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 960  {cab 1466  Vcvv 1814  -->wf 3184  (class class class)co 3969   ^m cm 4328

This theorem is referenced by:  elmap 4340  iscn 7755  iscnp 7757  isfuna 10725

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-map 4330

Copyright terms: Public domain