MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapi Structured version   Unicode version

Theorem elmapi 7038
Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapi  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  A : C --> B )

Proof of Theorem elmapi
StepHypRef Expression
1 elmapex 7037 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )
2 elmapg 7031 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
A : C --> B ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( A  e.  ( B  ^m  C )  <->  A : C
--> B ) )
43ibi 233 1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  A : C --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   -->wf 5450  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018
This theorem is referenced by:  mapsspm  7047  map0b  7052  mapss  7056  mapsncnv  7060  mapen  7271  mapxpen  7273  mapunen  7276  wemaplem2  7516  wemappo  7518  wemapso2lem  7519  wemapso  7520  wemapso2  7521  mapfien  7653  wemapwe  7654  iunmapdisj  7904  fseqenlem1  7905  fseqenlem2  7906  numacn  7930  finacn  7931  acndom  7932  acndom2  7935  infpwfien  7943  infmap2  8098  fin23lem40  8231  isf32lem12  8244  isf34lem6  8260  acncc  8320  pwfseqlem3  8535  pwxpndom2  8540  ramval  13376  ramub  13381  ramcl  13397  imasdsval2  13742  funcf2  14065  funcpropd  14097  ltbwe  16533  psr1baslem  16583  psr1basf  16599  fvcoe1  16605  coe1mul2lem1  16660  ply1coe  16684  pnrmopn  17407  xkoptsub  17686  xkopt  17687  tmdgsum  18125  imasdsf1olem  18403  ovolscalem2  19410  uniioombl  19481  tdeglem2  19984  plypf1  20131  ulmclm  20303  ulmcaulem  20310  ulmcau  20311  ulmss  20313  ulmbdd  20314  ulmcn  20315  ulmdvlem1  20316  ulmdvlem2  20317  ulmdvlem3  20318  mtest  20320  mtestbdd  20321  mbfulm  20322  iblulm  20323  itgulm  20324  itgulm2  20325  adjval2  23394  mbfmfun  24604  mbfmf  24605  elmbfmvol2  24617  mblfinlem3  26245  mblfinlem4  26246  ismblfin  26247  rrnmet  26538  rrndstprj1  26539  rrndstprj2  26540  rrncmslem  26541  rrnequiv  26544  ralxpmap  26742  elmapfun  26768  mapco2g  26769  elmapssres  26771  mapfzcons1  26773  mapfzcons2  26775  mzpcompact2lem  26808  eldiophb  26815  elmapresaun  26829  elmapresaunres2  26830  eq0rabdioph  26835  rexrabdioph  26854  eldioph4b  26872  diophren  26874  rmydioph  27085  rmxdioph  27087  expdiophlem2  27093  expdioph  27094  pw2f1o2val2  27111  wepwsolem  27116  pwfi2f1o  27237  islindf4  27285  mndvcl  27423  mndvass  27424  mndvlid  27425  mndvrid  27426  grpvlinv  27427  grpvrinv  27428  mhmvlin  27429  mamucl  27433  mamulid  27435  mamurid  27436  mamuass  27437  mamudi  27438  mamudir  27439  mamuvs1  27440  mamuvs2  27441  matbas2  27452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-map 7020
  Copyright terms: Public domain W3C validator