MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapi Unicode version

Theorem elmapi 6792
Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapi  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  A : C --> B )

Proof of Theorem elmapi
StepHypRef Expression
1 elmapex 6791 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )
2 elmapg 6785 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
A : C --> B ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( A  e.  ( B  ^m  C )  <->  A : C
--> B ) )
43ibi 232 1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  A : C --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   -->wf 5251  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772
This theorem is referenced by:  mapsspm  6801  map0b  6806  mapss  6810  mapsncnv  6814  mapen  7025  mapxpen  7027  mapunen  7030  wemaplem2  7262  wemappo  7264  wemapso2lem  7265  wemapso  7266  wemapso2  7267  mapfien  7399  wemapwe  7400  iunmapdisj  7650  fseqenlem1  7651  fseqenlem2  7652  numacn  7676  finacn  7677  acndom  7678  acndom2  7681  infpwfien  7689  infmap2  7844  fin23lem40  7977  isf32lem12  7990  isf34lem6  8006  acncc  8066  pwfseqlem3  8282  pwxpndom2  8287  ramval  13055  ramub  13060  ramcl  13076  imasdsval2  13419  funcf2  13742  funcpropd  13774  ltbwe  16214  psr1baslem  16264  psr1basf  16281  fvcoe1  16288  coe1mul2lem1  16344  ply1coe  16368  pnrmopn  17071  xkoptsub  17348  xkopt  17349  tmdgsum  17778  imasdsf1olem  17937  ovolscalem2  18873  uniioombl  18944  tdeglem2  19447  plypf1  19594  ulmclm  19766  ulmcaulem  19771  ulmcau  19772  ulmss  19774  ulmbdd  19775  ulmcn  19776  ulmdvlem1  19777  ulmdvlem2  19778  ulmdvlem3  19779  mtest  19781  mbfulm  19782  iblulm  19783  itgulm  19784  itgulm2  19785  adjval2  22471  mbfmfun  23559  mbfmf  23560  elmbfmvol2  23572  mulmulvec  25687  fnckle  26045  rrnmet  26553  rrndstprj1  26554  rrndstprj2  26555  rrncmslem  26556  rrnequiv  26559  ralxpmap  26761  elmapfun  26789  mapco2g  26790  elmapssres  26792  mapfzcons1  26794  mapfzcons2  26796  mzpcompact2lem  26829  eldiophb  26836  elmapresaun  26850  elmapresaunres2  26851  eq0rabdioph  26856  rexrabdioph  26875  eldioph4b  26894  diophren  26896  rmydioph  27107  rmxdioph  27109  expdiophlem2  27115  expdioph  27116  pw2f1o2val2  27133  wepwsolem  27138  pwfi2f1o  27260  islindf4  27308  mndvcl  27446  mndvass  27447  mndvlid  27448  mndvrid  27449  grpvlinv  27450  grpvrinv  27451  mhmvlin  27452  mamucl  27456  mamulid  27458  mamurid  27459  mamuass  27460  mamudi  27461  mamudir  27462  mamuvs1  27463  mamuvs2  27464  matbas2  27475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774
  Copyright terms: Public domain W3C validator