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Theorem elmapresaun 26850
Description: fresaun 5412 transposed to mappings. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
elmapresaun  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) ) )

Proof of Theorem elmapresaun
StepHypRef Expression
1 elmapi 6792 . . 3  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  F : A --> C )
2 elmapi 6792 . . 3  |-  ( G  e.  ( C  ^m  B )  ->  G : B --> C )
3 id 19 . . 3  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B
) ) )
4 fresaun 5412 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C )
51, 2, 3, 4syl3an 1224 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C )
6 elmapex 6791 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  ( C  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )
76simpld 445 . . . 4  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  C  e.  _V )
873ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  C  e.  _V )
96simprd 449 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  A  e.  _V )
10 elmapex 6791 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( C  ^m  B )  ->  ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
1110simprd 449 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( C  ^m  B )  ->  B  e.  _V )
12 unexg 4521 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
139, 11, 12syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B ) )  -> 
( A  u.  B
)  e.  _V )
14133adant3 975 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
15 elmapg 6785 . . 3  |-  ( ( C  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  e.  _V )  ->  ( ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  <-> 
( F  u.  G
) : ( A  u.  B ) --> C ) )
168, 14, 15syl2anc 642 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B )
)  <->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
175, 16mpbird 223 1  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    |` cres 4691   -->wf 5251  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772
This theorem is referenced by:  diophin  26852  eldioph4b  26894  diophren  26896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774
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