Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elmbfmvol2 Structured version   Unicode version

Theorem elmbfmvol2 24609
Description: Measurable functions with respect to the Lebesgue measure. We only have the inclusion, since MblFn includes complex-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
elmbfmvol2  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  F  e. MblFn )

Proof of Theorem elmbfmvol2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retopbas 18786 . . . . . 6  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
2 bastg 17023 . . . . . 6  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
4 retop 18787 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
5 sssigagen 24520 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e.  Top  ->  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
64, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
)
73, 6sstri 3349 . . . 4  |-  ran  (,)  C_  (sigaGen `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
8 df-brsiga 24528 . . . 4  |- 𝔅  =  (sigaGen `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
97, 8sseqtr4i 3373 . . 3  |-  ran  (,)  C_ 𝔅
10 eqid 2435 . . . . 5  |-  vol  =  vol
11 dmvlsiga 24504 . . . . . . 7  |-  dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )
12 elrnsiga 24501 . . . . . . 7  |-  ( dom 
vol  e.  (sigAlgebra `  RR )  ->  dom  vol  e.  U. ran sigAlgebra )
1311, 12mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( vol  =  vol  ->  dom  vol 
e.  U. ran sigAlgebra )
14 brsigarn 24530 . . . . . . 7  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
15 elrnsiga 24501 . . . . . . 7  |-  (𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
1614, 15mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( vol  =  vol  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
1713, 16ismbfm 24594 . . . . 5  |-  ( vol  =  vol  ->  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  <->  ( F  e.  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' F "
x )  e.  dom  vol ) ) )
1810, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  <->  ( F  e.  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' F "
x )  e.  dom  vol ) )
1918simprbi 451 . . 3  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  A. x  e. 𝔅  ( `' F "
x )  e.  dom  vol )
20 ssralv 3399 . . 3  |-  ( ran 
(,)  C_ 𝔅  ->  ( A. x  e. 𝔅  ( `' F " x )  e.  dom  vol  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F " x )  e.  dom  vol )
)
219, 19, 20mpsyl 61 . 2  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol )
2218simplbi 447 . . 3  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  F  e.  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol ) )
23 elmapi 7030 . . . 4  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  RR )  ->  F : RR
--> RR )
24 unibrsiga 24532 . . . . 5  |-  U.𝔅  =  RR
25 unidmvol 24576 . . . . 5  |-  U. dom  vol  =  RR
2624, 25oveq12i 6085 . . . 4  |-  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol )  =  ( RR  ^m  RR )
2723, 26eleq2s 2527 . . 3  |-  ( F  e.  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol )  ->  F : RR --> RR )
28 ismbf 19514 . . 3  |-  ( F : RR --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol ) )
2922, 27, 283syl 19 . 2  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  -> 
( F  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F " x )  e.  dom  vol )
)
3021, 29mpbird 224 1  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   U.cuni 4007   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   RRcr 8981   (,)cioo 10908   topGenctg 13657   Topctop 16950   TopBasesctb 16954   volcvol 19352  MblFncmbf 19498  sigAlgebracsiga 24482  sigaGencsigagen 24513  𝔅cbrsiga 24527  MblFnMcmbfm 24592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-topgen 13659  df-xmet 16687  df-met 16688  df-top 16955  df-bases 16957  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-siga 24483  df-sigagen 24514  df-brsiga 24528  df-mbfm 24593
  Copyright terms: Public domain W3C validator