MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmopn Structured version   Unicode version

Theorem elmopn 18473
Description: The defining property of an open set of a metric space. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
elmopn  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( A  e.  J  <->  ( A  C_  X  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, D, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    J( x, y)

Proof of Theorem elmopn
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnval 18469 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
32eleq2d 2504 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( A  e.  J  <->  A  e.  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) ) ) )
4 blbas 18461 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ran  ( ball `  D )  e. 
TopBases )
5 eltg2 17024 . . 3  |-  ( ran  ( ball `  D
)  e.  TopBases  ->  ( A  e.  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( ball `  D )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  ( ball `  D ) ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( A  e.  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( ball `  D )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  ( ball `  D ) ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
7 unirnbl 18451 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
87sseq2d 3377 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( A  C_  U. ran  ( ball `  D )  <->  A  C_  X
) )
98anbi1d 687 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( A  C_  U. ran  ( ball `  D )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  y  /\  y  C_  A
) )  <->  ( A  C_  X  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
103, 6, 93bitrd 272 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( A  e.  J  <->  ( A  C_  X  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707    C_ wss 3321   U.cuni 4016   ran crn 4880   ` cfv 5455   topGenctg 13666   * Metcxmt 16687   ballcbl 16689   MetOpencmopn 16692   TopBasesctb 16963
This theorem is referenced by:  elmopn2  18476  mopni  18523  blcld  18536  dscopn  18622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-topgen 13668  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-bases 16966
  Copyright terms: Public domain W3C validator