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Theorem elmzpcl 26804
Description: Double substitution lemma for mzPolyCld. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmzpcl  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. i  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, V, g    i, V    j, V, x    P, f, g    P, i    P, j, x

Proof of Theorem elmzpcl
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpclval 26803 . . 3  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPolyCld `  V )  =  {
p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) ) } )
21eleq2d 2350 . 2  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  P  e.  { p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  p ) ) } ) )
3 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  <->  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  P ) )
43ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  <->  A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  P ) )
5 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( x `  j
) )  e.  p  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P ) )
65ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  ( A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p  <->  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  P ) )
74, 6anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  (
( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  <-> 
( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P ) ) )
8 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( f  o F  +  g )  e.  p  <->  ( f  o F  +  g )  e.  P ) )
9 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( f  o F  x.  g )  e.  p  <->  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) )
108, 9anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  p
)  <->  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) )
1110raleqbi1dv 2744 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  ( A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  p
)  <->  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  P
) ) )
1211raleqbi1dv 2744 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  ( A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  p
)  <->  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  (
f  o F  x.  g )  e.  P
) ) )
137, 12anbi12d 691 . . . 4  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  p ) )  <->  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  (
( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  P ) ) ) )
1413elrab 2923 . . 3  |-  ( P  e.  { p  e. 
~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  p ) ) }  <->  ( P  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  (
( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  P ) ) ) )
15 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e. 
_V
1615elpw2 4175 . . . 4  |-  ( P  e.  ~P ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  <->  P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
1716anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( P  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) )  <-> 
( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) )
1814, 17bitri 240 . 2  |-  ( P  e.  { p  e. 
~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  o F  +  g )  e.  p  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  p ) ) }  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. i  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) )
192, 18syl6bb 252 1  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. i  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772    + caddc 8740    x. cmul 8742   ZZcz 10024  mzPolyCldcmzpcl 26799
This theorem is referenced by:  mzpclall  26805  mzpcl1  26807  mzpcl2  26808  mzpcl34  26809  mzpincl  26812  mzpindd  26824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-mzpcl 26801
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