MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elni2 Unicode version

Theorem elni2 8501
Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elni2  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )

Proof of Theorem elni2
StepHypRef Expression
1 elni 8500 . 2  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  A  =/=  (/) ) )
2 nnord 4664 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
3 ord0eln0 4446 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( (/)  e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
54pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  A )  <->  ( A  e.  om  /\  A  =/=  (/) ) )
61, 5bitr4i 243 1  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684    =/= wne 2446   (/)c0 3455   Ord word 4391   omcom 4656   N.cnpi 8466
This theorem is referenced by:  addclpi  8516  mulclpi  8517  mulcanpi  8524  addnidpi  8525  ltexpi  8526  ltmpi  8528  indpi  8531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-ni 8496
  Copyright terms: Public domain W3C validator