Theorem elni2 5070

Description: Membership in the class of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
elni2	|- (A e. N. <-> (A e. om /\ (/) e. A))

Proof of Theorem elni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 5069	. 2 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ A =/= (/)))
2		nnord 3197	. . . 4 |- (A e. om -> Ord A)
3		ord0eln0 3080	. . . 4 |- (Ord A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
4	2, 3	syl 10	. . 3 |- (A e. om -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
5	4	pm5.32i 656	. 2 |- ((A e. om /\ (/) e. A) <-> (A e. om /\ A =/= (/)))
6	1, 5	bitr4i 183	1 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ (/) e. A))

Syntax hints:   <-> wb 153   /\ wa 230   e. wcel 999   =/= wne 1632  (/)c0 2331  Ord word 3004  omcom 3188  N.cnpi 5037

This theorem is referenced by:  addclpi 5085  mulclpi 5086  mulcanpi 5092  addnidpi 5093  ltexpi 5094  ltmpi 5096  indpi 5099

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-om 3189  df-ni 5065

Copyright terms: Public domain