MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elni2 Structured version   Unicode version

Theorem elni2 8754
Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elni2  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )

Proof of Theorem elni2
StepHypRef Expression
1 elni 8753 . 2  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  A  =/=  (/) ) )
2 nnord 4853 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
3 ord0eln0 4635 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( (/)  e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
54pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  A )  <->  ( A  e.  om  /\  A  =/=  (/) ) )
61, 5bitr4i 244 1  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    =/= wne 2599   (/)c0 3628   Ord word 4580   omcom 4845   N.cnpi 8719
This theorem is referenced by:  addclpi  8769  mulclpi  8770  mulcanpi  8777  addnidpi  8778  ltexpi  8779  ltmpi  8781  indpi  8784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-ni 8749
  Copyright terms: Public domain W3C validator