Theorem elnlfn2t 9848

Description: Membership in the null space of a Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
elnlfn2t	|- ((T:H~-->CC /\ A e. (null` T)) -> (T` A) = 0)

Proof of Theorem elnlfn2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.27 323	. 2 |- ((T:H~-->CC /\ A e. (null` T)) -> A e. (null` T))
2		nlfnvalt 9803	. . . . . 6 |- (T:H~-->CC -> (null` T) = {x e. H~ | (T` x) = 0})
3		ssrab2 2134	. . . . . . 7 |- {x e. H~ | (T` x) = 0} (_ H~
4	3	a1i 8	. . . . . 6 |- (T:H~-->CC -> {x e. H~ | (T` x) = 0} (_ H~)
5	2, 4	eqsstrd 2098	. . . . 5 |- (T:H~-->CC -> (null` T) (_ H~)
6	5	sseld 2070	. . . 4 |- (T:H~-->CC -> (A e. (null` T) -> A e. H~))
7	6	imp 350	. . 3 |- ((T:H~-->CC /\ A e. (null` T)) -> A e. H~)
8		elnlfnt 9847	. . 3 |- ((T:H~-->CC /\ A e. H~) -> (A e. (null` T) <-> (T` A) = 0))
9	7, 8	syldan 469	. 2 |- ((T:H~-->CC /\ A e. (null` T)) -> (A e. (null` T) <-> (T` A) = 0))
10	1, 9	mpbid 195	1 |- ((T:H~-->CC /\ A e. (null` T)) -> (T` A) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {crab 1651   (_ wss 2050  -->wf 3184  ` cfv 3188  CCcc 5244  0cc0 5246  H~chil 8783  nullcnl 8816

This theorem is referenced by:  nlelsh 9988  nlelch 9989  riesz3 9990

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-qs 4272  df-map 4330  df-ni 5012  df-nq 5050  df-np 5098  df-nr 5179  df-c 5252  df-nlfn 9767

Copyright terms: Public domain