MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnmz Structured version   Unicode version

Theorem elnmz 14981
Description: Elementhood in the normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elnmz.1  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) }
Assertion
Ref Expression
elnmz  |-  ( A  e.  N  <->  ( A  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( A  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  A )  e.  S
) ) )
Distinct variable groups:    x, z, A    x, y, z    z, N    x, S, y, z   
x,  .+ , y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( y)    N( x, y)

Proof of Theorem elnmz
StepHypRef Expression
1 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x  .+  y )  =  ( x  .+  z ) )
21eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( x  .+  z )  e.  S
) )
3 oveq1 6090 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  .+  x )  =  ( z  .+  x ) )
43eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  .+  x
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
) )
52, 4bibi12d 314 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S )  <->  ( (
x  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
) ) )
65cbvralv 2934 . . 3  |-  ( A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
)  <->  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S ) )
7 oveq1 6090 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  .+  z )  =  ( A  .+  z ) )
87eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( A  .+  z )  e.  S
) )
9 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
z  .+  x )  =  ( z  .+  A ) )
109eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( z  .+  x
)  e.  S  <->  ( z  .+  A )  e.  S
) )
118, 10bibi12d 314 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( x  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S )  <->  ( ( A  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  A )  e.  S
) ) )
1211ralbidv 2727 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S )  <->  A. z  e.  X  ( ( A  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  A )  e.  S
) ) )
136, 12syl5bb 250 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S )  <->  A. z  e.  X  ( ( A  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  A )  e.  S
) ) )
14 elnmz.1 . 2  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) }
1513, 14elrab2 3096 1  |-  ( A  e.  N  <->  ( A  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( A  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  A )  e.  S
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711  (class class class)co 6083
This theorem is referenced by:  nmzbi  14982  nmzsubg  14983  ssnmz  14984  conjnmzb  15042  sylow3lem2  15264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-iota 5420  df-fv 5464  df-ov 6086
  Copyright terms: Public domain W3C validator