MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn Structured version   Unicode version

Theorem elnn 4857
Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
elnn  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )

Proof of Theorem elnn
StepHypRef Expression
1 ordom 4856 . 2  |-  Ord  om
2 ordtr 4597 . 2  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
3 trel 4311 . 2  |-  ( Tr 
om  ->  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om ) )
41, 2, 3mp2b 10 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   Tr wtr 4304   Ord word 4582   omcom 4847
This theorem is referenced by:  nnaordi  6863  nnmordi  6876  pssnn  7329  ssnnfi  7330  unfilem1  7373  unfilem2  7374  inf3lem5  7589  cantnflt  7629  cantnfp1lem3  7638  cantnflem1d  7646  cantnflem1  7647  cnfcomlem  7658  cnfcom  7659  infpssrlem4  8188  axdc3lem2  8333  pwfseqlem3  8537  elhf2  26118  hfelhf  26124  bnj1098  29156  bnj517  29258  bnj594  29285  bnj1001  29331  bnj1118  29355  bnj1128  29361  bnj1145  29364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848
  Copyright terms: Public domain W3C validator