MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn Unicode version

Theorem elnn 4666
Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
elnn  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )

Proof of Theorem elnn
StepHypRef Expression
1 ordom 4665 . 2  |-  Ord  om
2 ordtr 4406 . 2  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
3 trel 4120 . 2  |-  ( Tr 
om  ->  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om ) )
41, 2, 3mp2b 9 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   Tr wtr 4113   Ord word 4391   omcom 4656
This theorem is referenced by:  nnaordi  6616  nnmordi  6629  pssnn  7081  ssnnfi  7082  unfilem1  7121  unfilem2  7122  inf3lem5  7333  cantnflt  7373  cantnfp1lem3  7382  cantnflem1d  7390  cantnflem1  7391  cnfcomlem  7402  cnfcom  7403  infpssrlem4  7932  axdc3lem2  8077  pwfseqlem3  8282  elhf2  24805  hfelhf  24811  bnj1098  28815  bnj517  28917  bnj594  28944  bnj1001  28990  bnj1118  29014  bnj1128  29020  bnj1145  29023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657
  Copyright terms: Public domain W3C validator