MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0z Structured version   Unicode version

Theorem elnn0z 10286
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 elnn0 10215 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 elnnz 10284 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
3 eqcom 2437 . . 3  |-  ( N  =  0  <->  0  =  N )
42, 3orbi12i 508 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  <-> 
( ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N )  \/  0  =  N ) )
5 id 20 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
6 0z 10285 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  N  ->  (
0  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
86, 7mpbii 203 . . . . . 6  |-  ( 0  =  N  ->  N  e.  ZZ )
95, 8jaoi 369 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  ->  N  e.  ZZ )
10 orc 375 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )
)
119, 10impbii 181 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  <->  N  e.  ZZ )
1211anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N
)  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
13 ordir 836 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
14 0re 9083 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 zre 10278 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
16 leloe 9153 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
1714, 15, 16sylancr 645 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1817pm5.32i 619 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1912, 13, 183bitr4i 269 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
201, 4, 193bitri 263 1  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   RRcr 8981   0cc0 8982    < clt 9112    <_ cle 9113   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274
This theorem is referenced by:  nn0zrab  10302  znn0sub  10315  nn0ind  10358  fnn0ind  10361  fznn0  11105  flge0nn0  11217  zmodcl  11258  zsqcl2  11451  nn0abscl  12109  iseralt  12470  oexpneg  12903  divalglem2  12907  divalglem8  12912  divalglem10  12914  divalgb  12916  bitsinv1lem  12945  algcvga  13062  iserodd  13201  pockthlem  13265  4sqlem14  13318  taylfvallem1  20265  tayl0  20270  leibpilem1  20772  basellem3  20857  bcmono  21053  binomrisefac  25350  irrapxlem1  26876  rmynn0  27013  rmyabs  27014  jm2.22  27057  jm2.23  27058  jm2.27a  27067  jm2.27c  27069  hashgcdlem  27484  wallispilem4  27784  stirlinglem5  27794  lesubnn0  28081  elfz2z  28089  elfzmlbp  28091  elfzelfzelfz  28093  elfz0fzfz0  28098  2elfz2melfz  28101  fz0fzelfz0  28102  subsubelfzo0  28118  wrdsymb0  28147  ccatsymb  28152  swrdswrdlem  28164  swrdswrd  28165  swrdccatin2  28176  swrdccatin12lem3  28178  swrdccatin12lem4  28179  2cshw1lem1  28214  2cshw1lem2  28215  cshweqdif2s  28234  cshwssizelem4a  28246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275
  Copyright terms: Public domain W3C validator