Theorem elnn0z 6149

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers.

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	|- (N e. NN0 <-> (N e. ZZ /\ 0 <_ N))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 6103	. 2 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
2		elnnz 6147	. . 3 |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))
3		eqcom 1480	. . 3 |- (N = 0 <-> 0 = N)
4	2, 3	orbi12i 257	. 2 |- ((N e. NN \/ N = 0) <-> ((N e. ZZ /\ 0 < N) \/ 0 = N))
5		id 59	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> N e. ZZ)
6		0z 6148	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
7		eleq1 1537	. . . . . . 7 |- (0 = N -> (0 e. ZZ <-> N e. ZZ))
8	6, 7	mpbii 193	. . . . . 6 |- (0 = N -> N e. ZZ)
9	5, 8	jaoi 341	. . . . 5 |- ((N e. ZZ \/ 0 = N) -> N e. ZZ)
10		orc 269	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> (N e. ZZ \/ 0 = N))
11	9, 10	impbi 157	. . . 4 |- ((N e. ZZ \/ 0 = N) <-> N e. ZZ)
12	11	anbi1i 483	. . 3 |- (((N e. ZZ \/ 0 = N) /\ (0 < N \/ 0 = N)) <-> (N e. ZZ /\ (0 < N \/ 0 = N)))
13		ordir 599	. . 3 |- (((N e. ZZ /\ 0 < N) \/ 0 = N) <-> ((N e. ZZ \/ 0 = N) /\ (0 < N \/ 0 = N)))
14		zret 6141	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
15		0re 5452	. . . . . 6 |- 0 e. RR
16		leloet 5530	. . . . . 6 |- ((0 e. RR /\ N e. RR) -> (0 <_ N <-> (0 < N \/ 0 = N)))
17	15, 16	mpan 697	. . . . 5 |- (N e. RR -> (0 <_ N <-> (0 < N \/ 0 = N)))
18	14, 17	syl 10	. . . 4 |- (N e. ZZ -> (0 <_ N <-> (0 < N \/ 0 = N)))
19	18	pm5.32i 647	. . 3 |- ((N e. ZZ /\ 0 <_ N) <-> (N e. ZZ /\ (0 < N \/ 0 = N)))
20	12, 13, 19	3bitr4 183	. 2 |- (((N e. ZZ /\ 0 < N) \/ 0 = N) <-> (N e. ZZ /\ 0 <_ N))
21	1, 4, 20	3bitr 177	1 |- (N e. NN0 <-> (N e. ZZ /\ 0 <_ N))

Syntax hints:   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  RRcr 5245  0cc0 5246   <_ cle 5307  NNcn 5308  NN0cn0 5309  ZZcz 5310   < clt 5498

This theorem is referenced by:  nn0zrab 6160  znn0subt 6180  nn0ind 6214  flge0nn0t 6244  elfz2nn0t 6496  elfznn0t 6497  fznn0t 6517  nn0absclt 6879  bcclt 6972  znnen 7503

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138

Copyright terms: Public domain