MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0z Unicode version

Theorem elnn0z 10226
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 elnn0 10155 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 elnnz 10224 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
3 eqcom 2389 . . 3  |-  ( N  =  0  <->  0  =  N )
42, 3orbi12i 508 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  <-> 
( ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N )  \/  0  =  N ) )
5 id 20 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
6 0z 10225 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 eleq1 2447 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  N  ->  (
0  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
86, 7mpbii 203 . . . . . 6  |-  ( 0  =  N  ->  N  e.  ZZ )
95, 8jaoi 369 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  ->  N  e.  ZZ )
10 orc 375 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )
)
119, 10impbii 181 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  <->  N  e.  ZZ )
1211anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N
)  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
13 ordir 836 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
14 0re 9024 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 zre 10218 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
16 leloe 9094 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
1714, 15, 16sylancr 645 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1817pm5.32i 619 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1912, 13, 183bitr4i 269 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
201, 4, 193bitri 263 1  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   RRcr 8922   0cc0 8923    < clt 9053    <_ cle 9054   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ZZcz 10214
This theorem is referenced by:  nn0zrab  10242  znn0sub  10255  nn0ind  10298  fnn0ind  10301  fznn0  11044  flge0nn0  11152  zmodcl  11193  zsqcl2  11386  nn0abscl  12044  iseralt  12405  oexpneg  12838  divalglem2  12842  divalglem8  12847  divalglem10  12849  divalgb  12851  bitsinv1lem  12880  algcvga  12997  iserodd  13136  pockthlem  13200  4sqlem14  13253  taylfvallem1  20140  tayl0  20145  leibpilem1  20647  basellem3  20732  bcmono  20928  irrapxlem1  26576  rmynn0  26713  rmyabs  26714  jm2.22  26757  jm2.23  26758  jm2.27a  26767  jm2.27c  26769  hashgcdlem  27185  wallispilem4  27485  stirlinglem5  27495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215
  Copyright terms: Public domain W3C validator