MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnnn0c Unicode version

Theorem elnnnn0c 10025
Description: The natural number property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0c  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )

Proof of Theorem elnnnn0c
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9988 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 nnge1 9788 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
31, 2jca 518 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
4 0lt1 9312 . . . . 5  |-  0  <  1
5 nn0re 9990 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
6 0re 8854 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
7 1re 8853 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
8 ltletr 8929 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N
) )
96, 7, 8mp3an12 1267 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N
) )
105, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N ) )
114, 10mpani 657 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  <_  N  ->  0  <  N ) )
1211imdistani 671 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N )  -> 
( N  e.  NN0  /\  0  <  N ) )
13 elnnnn0b 10024 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  0  < 
N ) )
1412, 13sylibr 203 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N )  ->  N  e.  NN )
153, 14impbii 180 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   NN0cn0 9981
This theorem is referenced by:  pcelnn  12938  lgsabs1  20589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982
  Copyright terms: Public domain W3C validator