HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem elnnz 6092
Description: Natural number property expressed in terms of integers.
Assertion
Ref Expression
elnnz |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))
Proof of Theorem elnnz
StepHypRef Expression
1 nnret 5877 . . . . 5 |- (N e. NN -> N e. RR)
2 orc 269 . . . . 5 |- (N e. NN -> (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)))
31, 2jca 288 . . . 4 |- (N e. NN -> (N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))))
4 nngt0t 5894 . . . 4 |- (N e. NN -> 0 < N)
53, 4jca 288 . . 3 |- (N e. NN -> ((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N))
6 idd 61 . . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> (N e. NN -> N e. NN))
7 lt0neg2t 5642 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> (0 < N <-> -uN < 0))
8 renegclt 5409 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (N e. RR -> -uN e. RR)
9 0re 5412 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
10 ltnsymt 5505 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uN e. RR /\ 0 e. RR) -> (-uN < 0 -> -. 0 < -uN))
119, 10mpan2 694 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (-uN e. RR -> (-uN < 0 -> -. 0 < -uN))
128, 11syl 10 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> (-uN < 0 -> -. 0 < -uN))
137, 12sylbid 203 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. RR -> (0 < N -> -. 0 < -uN))
1413imp 350 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. 0 < -uN)
15 nngt0t 5894 . . . . . . . . . . 11 |- (-uN e. NN -> 0 < -uN)
1614, 15nsyl 116 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. -uN e. NN)
17 gt0ne0t 5592 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> N =/= 0)
18 df-ne 1579 . . . . . . . . . . 11 |- (N =/= 0 <-> -. N = 0)
1917, 18sylib 198 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. N = 0)
2016, 19jca 288 . . . . . . . . 9 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> (-. -uN e. NN /\ -. N = 0))
21 ioran 306 . . . . . . . . 9 |- (-. (-uN e. NN \/ N = 0) <-> (-. -uN e. NN /\ -. N = 0))
2220, 21sylibr 200 . . . . . . . 8 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. (-uN e. NN \/ N = 0))
2322pm2.21d 78 . . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> ((-uN e. NN \/ N = 0) -> N e. NN))
246, 23jaod 424 . . . . . 6 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> ((N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)) -> N e. NN))
2524ex 373 . . . . 5 |- (N e. RR -> (0 < N -> ((N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)) -> N e. NN)))
2625com23 32 . . . 4 |- (N e. RR -> ((N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)) -> (0 < N -> N e. NN)))
2726imp31 362 . . 3 |- (((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N) -> N e. NN)
285, 27impbi 157 . 2 |- (N e. NN <-> ((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N))
29 elz 6084 . . . 4 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)))
30 3orrot 779 . . . . . 6 |- ((N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN) <-> (N e. NN \/ -uN e. NN \/ N = 0))
31 3orass 776 . . . . . 6 |- ((N e. NN \/ -uN e. NN \/ N = 0) <-> (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)))
3230, 31bitr 173 . . . . 5 |- ((N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN) <-> (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)))
3332anbi2i 479 . . . 4 |- ((N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)) <-> (N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))))
3429, 33bitr 173 . . 3 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))))
3534anbi1i 480 . 2 |- ((N e. ZZ /\ 0 < N) <-> ((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N))
3628, 35bitr4 176 1 |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   \/ w3o 772   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  RRcr 5205  0cc0 5206  -ucneg 5265  NNcn 5268  ZZcz 5270   < clt 5458
This theorem is referenced by:  elnn0z 6094  nnssz 6098  nn0subt 6108  elnn0nn 6118  elnnnn0b 6120  znnsubt 6124  msqznn 6143  sqr2irr 6659  eftlexOLD 7319
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-z 6083
Copyright terms: Public domain