MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnz Structured version   Unicode version

Theorem elnnz 10292
Description: Natural number property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
elnnz  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )

Proof of Theorem elnnz
StepHypRef Expression
1 nnre 10007 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 orc 375 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0
) ) )
3 nngt0 10029 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
41, 2, 3jca31 521 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) )  /\  0  <  N
) )
5 idd 22 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  -> 
( N  e.  NN  ->  N  e.  NN ) )
6 lt0neg2 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  (
0  <  N  <->  -u N  <  0 ) )
7 renegcl 9364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  -u N  e.  RR )
8 0re 9091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
9 ltnsym 9172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u N  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u N  <  0  ->  -.  0  <  -u N ) )
107, 8, 9sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u N  <  0  ->  -.  0  <  -u N
) )
116, 10sylbid 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
0  <  N  ->  -.  0  <  -u N
) )
1211imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  ->  -.  0  <  -u N
)
13 nngt0 10029 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u N  e.  NN  ->  0  <  -u N )
1412, 13nsyl 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  ->  -.  -u N  e.  NN )
15 gt0ne0 9493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  ->  N  =/=  0 )
1615neneqd 2617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  ->  -.  N  =  0
)
17 ioran 477 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 )  <->  ( -.  -u N  e.  NN  /\  -.  N  =  0
) )
1814, 16, 17sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  ->  -.  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
1918pm2.21d 100 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  -> 
( ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  N  e.  NN ) )
205, 19jaod 370 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  -> 
( ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )  ->  N  e.  NN ) )
2120ex 424 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
0  <  N  ->  ( ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )  ->  N  e.  NN )
) )
2221com23 74 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )  -> 
( 0  <  N  ->  N  e.  NN ) ) )
2322imp31 422 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) )  /\  0  <  N
)  ->  N  e.  NN )
244, 23impbii 181 . 2  |-  ( N  e.  NN  <->  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0
) ) )  /\  0  <  N ) )
25 elz 10284 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
26 3orrot 942 . . . . . 6  |-  ( ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN )  <-> 
( N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN  \/  N  =  0
) )
27 3orass 939 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN  \/  N  =  0 )  <-> 
( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) )
2826, 27bitri 241 . . . . 5  |-  ( ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN )  <-> 
( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) )
2928anbi2i 676 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) ) )
3025, 29bitri 241 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) ) )
3130anbi1i 677 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  <->  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0
) ) )  /\  0  <  N ) )
3224, 31bitr4i 244 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   RRcr 8989   0cc0 8990    < clt 9120   -ucneg 9292   NNcn 10000   ZZcz 10282
This theorem is referenced by:  elnn0z  10294  nnssz  10301  elnnz1  10307  znnsub  10322  msqznn  10351  lbfzo0  11170  elfznelfzo  11192  nnesq  11503  nnabscl  12129  iseralt  12478  sqr2irrlem  12847  nndivdvds  12858  dvdslelem  12894  ndvdsadd  12928  bitsfzolem  12946  sqgcd  13058  prmind2  13090  qredeu  13107  qgt0numnn  13143  oddprm  13189  pythagtriplem6  13195  pythagtriplem11  13199  pythagtriplem13  13201  pythagtriplem19  13207  pc2dvds  13252  pcadd  13258  prmreclem3  13286  4sqlem11  13323  4sqlem12  13324  subgmulg  14958  znidomb  16842  sgmnncl  20930  dvdsdivcl  20966  muinv  20978  mersenne  21011  bposlem6  21073  lgseisenlem1  21133  lgsquadlem1  21138  lgsquadlem2  21139  2sqlem8  21156  dchrisum0flblem2  21203  mblfinlem2  26244  nn0prpwlem  26325  irrapxlem4  26888  rmspecnonsq  26970  rmynn  27021  jm2.24  27028  jm2.23  27067  jm2.20nn  27068  jm2.27a  27076  jm2.27c  27078  rmydioph  27085  jm3.1lem3  27090  fzo1fzo0n0  28128  fzofzim  28136  nn0ge0div  28142  ccatsymb  28179  swrdccatin12lem4  28213  cshwidx  28242  cshwssizelem4a  28283
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-z 10283
  Copyright terms: Public domain W3C validator