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Theorem elnpi 8612
Description: Membership in positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elnpi  |-  ( A  e.  P.  <->  ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A )  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem elnpi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  A  e.  _V )
2 simpl1 958 . 2  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) )  ->  A  e.  _V )
3 psseq2 3264 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( (/)  C.  z  <->  (/)  C.  A )
)
4 psseq1 3263 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
z  C.  Q.  <->  A  C.  Q. ) )
53, 4anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( (/)  C.  z  /\  z  C.  Q. )  <->  ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )
) )
6 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  A ) )
76imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  <-> 
( y  <Q  x  ->  y  e.  A ) ) )
87albidv 1611 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  <->  A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A ) ) )
9 rexeq 2737 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( E. y  e.  z  x  <Q  y  <->  E. y  e.  A  x  <Q  y ) )
108, 9anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  /\  E. y  e.  z  x 
<Q  y )  <->  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) )
1110raleqbi1dv 2744 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z 
( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  /\  E. y  e.  z  x 
<Q  y )  <->  A. x  e.  A  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) )
125, 11anbi12d 691 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( (/)  C.  z  /\  z  C.  Q. )  /\  A. x  e.  z  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  /\  E. y  e.  z  x 
<Q  y ) )  <->  ( ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) ) )
13 df-np 8605 . . . 4  |-  P.  =  { z  |  ( ( (/)  C.  z  /\  z  C.  Q. )  /\  A. x  e.  z  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  z )  /\  E. y  e.  z  x  <Q  y ) ) }
1412, 13elab2g 2916 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) ) )
15 id 19 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  ->  ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )
)
16153expib 1154 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  -> 
( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. ) ) )
17 3simpc 954 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  ->  ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. ) )
1816, 17impbid1 194 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  <->  ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )
) )
1918anbi1d 685 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A )  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) )  <->  ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A )  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) ) )
2014, 19bitrd 244 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  P.  <->  ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A )  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) ) )
211, 2, 20pm5.21nii 342 1  |-  ( A  e.  P.  <->  ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A )  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C. wpss 3153   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   Q.cnq 8474    <Q cltq 8480   P.cnp 8481
This theorem is referenced by:  prn0  8613  prpssnq  8614  prcdnq  8617  prnmax  8619
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-np 8605
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