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Theorem elo12 12001
Description: Elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem elo12
StepHypRef Expression
1 cnex 8818 . . . 4  |-  CC  e.  _V
2 reex 8828 . . . 4  |-  RR  e.  _V
3 elpm2r 6788 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
41, 2, 3mpanl12 663 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
5 elo1 12000 . . . 4  |-  ( F  e.  O ( 1 )  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) )
65baib 871 . . 3  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  ->  ( F  e.  O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) 
+oo ) ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
74, 6syl 15 . 2  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) )
8 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo ) ) )
9 fdm 5393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
109ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  dom  F  =  A )
1110eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  A ) )
1211anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  ( x [,)  +oo ) ) ) )
13 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
14 elicopnf 10739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  ( x [,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,)  +oo ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  x  <_  y )
) )
16 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1716sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
1817biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1915, 18bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,)  +oo ) 
<->  x  <_  y )
)
2019pm5.32da 622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  A  /\  y  e.  (
x [,)  +oo ) )  <-> 
( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2112, 20bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) ) )
228, 21syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  i^i  ( x [,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2322imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )  <->  ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) )
24 impexp 433 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )  <->  ( y  e.  A  -> 
( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) )
2523, 24syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )  <->  ( y  e.  A  -> 
( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) ) )
2625ralbidv2 2565 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m  <->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
2726rexbidva 2560 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m  <->  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) ) )
2827rexbidva 2560 . 2  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
297, 28bitrd 244 1  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   CCcc 8735   RRcr 8736    +oocpnf 8864    <_ cle 8868   [,)cico 10658   abscabs 11719   O (
1 )co1 11960
This theorem is referenced by:  elo12r  12002  o1bdd  12005  lo1o1  12006  o1co  12060  rlimo1  12090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ico 10662  df-o1 11964
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