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Theorem elo12 12097
Description: Elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem elo12
StepHypRef Expression
1 cnex 8908 . . . 4  |-  CC  e.  _V
2 reex 8918 . . . 4  |-  RR  e.  _V
3 elpm2r 6876 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
41, 2, 3mpanl12 663 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
5 elo1 12096 . . . 4  |-  ( F  e.  O ( 1 )  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) )
65baib 871 . . 3  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  ->  ( F  e.  O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) 
+oo ) ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
74, 6syl 15 . 2  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) )
8 elin 3434 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo ) ) )
9 fdm 5476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
109ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  dom  F  =  A )
1110eleq2d 2425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  A ) )
1211anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  ( x [,)  +oo ) ) ) )
13 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
14 elicopnf 10831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  ( x [,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,)  +oo ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  x  <_  y )
) )
16 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1716sselda 3256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
1817biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1915, 18bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,)  +oo ) 
<->  x  <_  y )
)
2019pm5.32da 622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  A  /\  y  e.  (
x [,)  +oo ) )  <-> 
( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2112, 20bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) ) )
228, 21syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  i^i  ( x [,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2322imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )  <->  ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) )
24 impexp 433 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )  <->  ( y  e.  A  -> 
( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) )
2523, 24syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )  <->  ( y  e.  A  -> 
( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) ) )
2625ralbidv2 2641 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m  <->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
2726rexbidva 2636 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m  <->  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) ) )
2827rexbidva 2636 . 2  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
297, 28bitrd 244 1  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   _Vcvv 2864    i^i cin 3227    C_ wss 3228   class class class wbr 4104   dom cdm 4771   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    ^pm cpm 6861   CCcc 8825   RRcr 8826    +oocpnf 8954    <_ cle 8958   [,)cico 10750   abscabs 11815   O (
1 )co1 12056
This theorem is referenced by:  elo12r  12098  o1bdd  12101  lo1o1  12102  o1co  12156  rlimo1  12186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-er 6747  df-pm 6863  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-ico 10754  df-o1 12060
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