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Theorem elo12 12276
Description: Elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem elo12
StepHypRef Expression
1 cnex 9027 . . . 4  |-  CC  e.  _V
2 reex 9037 . . . 4  |-  RR  e.  _V
3 elpm2r 6993 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
41, 2, 3mpanl12 664 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
5 elo1 12275 . . . 4  |-  ( F  e.  O ( 1 )  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) )
65baib 872 . . 3  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  ->  ( F  e.  O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) 
+oo ) ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
74, 6syl 16 . 2  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) )
8 elin 3490 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo ) ) )
9 fdm 5554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
109ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  dom  F  =  A )
1110eleq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  A ) )
1211anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  ( x [,)  +oo ) ) ) )
13 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
14 elicopnf 10956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  ( x [,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,)  +oo ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  x  <_  y )
) )
16 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1716sselda 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
1817biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1915, 18bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,)  +oo ) 
<->  x  <_  y )
)
2019pm5.32da 623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  A  /\  y  e.  (
x [,)  +oo ) )  <-> 
( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2112, 20bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,)  +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) ) )
228, 21syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  i^i  ( x [,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2322imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )  <->  ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) )
24 impexp 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )  <->  ( y  e.  A  -> 
( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) )
2523, 24syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )  <->  ( y  e.  A  -> 
( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) ) )
2625ralbidv2 2688 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m  <->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
2726rexbidva 2683 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m  <->  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) ) )
2827rexbidva 2683 . 2  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,)  +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
297, 28bitrd 245 1  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^pm cpm 6978   CCcc 8944   RRcr 8945    +oocpnf 9073    <_ cle 9077   [,)cico 10874   abscabs 11994   O (
1 )co1 12235
This theorem is referenced by:  elo12r  12277  o1bdd  12280  lo1o1  12281  o1co  12335  rlimo1  12365
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-ico 10878  df-o1 12239
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