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Theorem elo12r 12322
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12r  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  F  e.  O (
1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, F    x, M

Proof of Theorem elo12r
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4215 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  (
y  <_  x  <->  C  <_  x ) )
21imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) ) )
32ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) ) )
4 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  <->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  M
) )
54imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  M ) ) )
65ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  A  ( C  <_  x  -> 
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  M ) ) )
73, 6rspc2ev 3060 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
873expa 1153 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  M )
)  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
)
983adant1 975 . 2  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
10 elo12 12321 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
) )
11103ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
) )
129, 11mpbird 224 1  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  F  e.  O (
1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   -->wf 5450   ` cfv 5454   CCcc 8988   RRcr 8989    <_ cle 9121   abscabs 12039   O ( 1 )co1 12280
This theorem is referenced by:  o1resb  12360  o1of2  12406  o1cxp  20813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-ico 10922  df-o1 12284
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