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Theorem elo12r 12018
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12r  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  F  e.  O (
1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, F    x, M

Proof of Theorem elo12r
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  (
y  <_  x  <->  C  <_  x ) )
21imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) ) )
32ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) ) )
4 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  <->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  M
) )
54imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  M ) ) )
65ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  A  ( C  <_  x  -> 
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  M ) ) )
73, 6rspc2ev 2905 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
873expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  M )
)  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
)
983adant1 973 . 2  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
10 elo12 12017 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
) )
11103ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
) )
129, 11mpbird 223 1  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  F  e.  O (
1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271   CCcc 8751   RRcr 8752    <_ cle 8884   abscabs 11735   O ( 1 )co1 11976
This theorem is referenced by:  o1resb  12056  o1of2  12102  o1cxp  20285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-o1 11980
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