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Theorem elo12r 12002
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12r  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  F  e.  O (
1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, F    x, M

Proof of Theorem elo12r
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  (
y  <_  x  <->  C  <_  x ) )
21imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) ) )
32ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) ) )
4 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  <->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  M
) )
54imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  M ) ) )
65ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  A  ( C  <_  x  -> 
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  M ) ) )
73, 6rspc2ev 2892 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
873expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  M )
)  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
)
983adant1 973 . 2  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
10 elo12 12001 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
) )
11103ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
) )
129, 11mpbird 223 1  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  F  e.  O (
1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255   CCcc 8735   RRcr 8736    <_ cle 8868   abscabs 11719   O ( 1 )co1 11960
This theorem is referenced by:  o1resb  12040  o1of2  12086  o1cxp  20269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ico 10662  df-o1 11964
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