Theorem elom3 4631

Description: A simplification of elom 3134 assuming the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
elom3	|- (A e. om <-> A.x(Lim x -> A e. x))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem elom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elomg 3135	. . . 4 |- (A e. om -> (A e. om <-> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x))))
2	1	ibi 592	. . 3 |- (A e. om -> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x)))
3	2	pm3.27d 325	. 2 |- (A e. om -> A.x(Lim x -> A e. x))
4		limom 3146	. . 3 |- Lim om
5		omex 4627	. . . 4 |- om e. V
6		limeq 2960	. . . . 5 |- (x = om -> (Lim x <-> Lim om))
7		eleq2 1535	. . . . 5 |- (x = om -> (A e. x <-> A e. om))
8	6, 7	imbi12d 626	. . . 4 |- (x = om -> ((Lim x -> A e. x) <-> (Lim om -> A e. om)))
9	5, 8	cla4v 1868	. . 3 |- (A.x(Lim x -> A e. x) -> (Lim om -> A e. om))
10	4, 9	mpi 44	. 2 |- (A.x(Lim x -> A e. x) -> A e. om)
11	3, 10	impbi 157	1 |- (A e. om <-> A.x(Lim x -> A e. x))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  Ord word 2947  Lim wlim 2949  omcom 3131

This theorem is referenced by:  dfom4 4632

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132

Copyright terms: Public domain