MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elom3 Structured version   Unicode version

Theorem elom3 7605
Description: A simplification of elom 4850 assuming the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-May-2003.)
Assertion
Ref Expression
elom3  |-  ( A  e.  om  <->  A. x
( Lim  x  ->  A  e.  x ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem elom3
StepHypRef Expression
1 elom 4850 . 2  |-  ( A  e.  om  <->  ( A  e.  On  /\  A. x
( Lim  x  ->  A  e.  x ) ) )
2 limom 4862 . . . . 5  |-  Lim  om
3 omex 7600 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
4 limeq 4595 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( Lim  x  <->  Lim  om ) )
5 eleq2 2499 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  om ) )
64, 5imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
( Lim  x  ->  A  e.  x )  <->  ( Lim  om 
->  A  e.  om ) ) )
73, 6spcv 3044 . . . . 5  |-  ( A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x )  ->  ( Lim  om  ->  A  e.  om )
)
82, 7mpi 17 . . . 4  |-  ( A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x )  ->  A  e.  om )
9 nnon 4853 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x )  ->  A  e.  On )
1110pm4.71ri 616 . 2  |-  ( A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x )  <-> 
( A  e.  On  /\ 
A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x ) ) )
121, 11bitr4i 245 1  |-  ( A  e.  om  <->  A. x
( Lim  x  ->  A  e.  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   Oncon0 4583   Lim wlim 4584   omcom 4847
This theorem is referenced by:  dfom4  7606  dfom5  7607
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848
  Copyright terms: Public domain W3C validator