MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elom3 Unicode version

Theorem elom3 7349
Description: A simplification of elom 4659 assuming the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-May-2003.)
Assertion
Ref Expression
elom3  |-  ( A  e.  om  <->  A. x
( Lim  x  ->  A  e.  x ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem elom3
StepHypRef Expression
1 elom 4659 . 2  |-  ( A  e.  om  <->  ( A  e.  On  /\  A. x
( Lim  x  ->  A  e.  x ) ) )
2 limom 4671 . . . . 5  |-  Lim  om
3 omex 7344 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
4 limeq 4404 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( Lim  x  <->  Lim  om ) )
5 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  om ) )
64, 5imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
( Lim  x  ->  A  e.  x )  <->  ( Lim  om 
->  A  e.  om ) ) )
73, 6spcv 2874 . . . . 5  |-  ( A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x )  ->  ( Lim  om  ->  A  e.  om )
)
82, 7mpi 16 . . . 4  |-  ( A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x )  ->  A  e.  om )
9 nnon 4662 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x )  ->  A  e.  On )
1110pm4.71ri 614 . 2  |-  ( A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x )  <-> 
( A  e.  On  /\ 
A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x ) ) )
121, 11bitr4i 243 1  |-  ( A  e.  om  <->  A. x
( Lim  x  ->  A  e.  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   omcom 4656
This theorem is referenced by:  dfom4  7350  dfom5  7351
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657
  Copyright terms: Public domain W3C validator