MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elom3 Unicode version

Theorem elom3 7365
Description: A simplification of elom 4675 assuming the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-May-2003.)
Assertion
Ref Expression
elom3  |-  ( A  e.  om  <->  A. x
( Lim  x  ->  A  e.  x ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem elom3
StepHypRef Expression
1 elom 4675 . 2  |-  ( A  e.  om  <->  ( A  e.  On  /\  A. x
( Lim  x  ->  A  e.  x ) ) )
2 limom 4687 . . . . 5  |-  Lim  om
3 omex 7360 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
4 limeq 4420 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( Lim  x  <->  Lim  om ) )
5 eleq2 2357 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  om ) )
64, 5imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
( Lim  x  ->  A  e.  x )  <->  ( Lim  om 
->  A  e.  om ) ) )
73, 6spcv 2887 . . . . 5  |-  ( A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x )  ->  ( Lim  om  ->  A  e.  om )
)
82, 7mpi 16 . . . 4  |-  ( A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x )  ->  A  e.  om )
9 nnon 4678 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x )  ->  A  e.  On )
1110pm4.71ri 614 . 2  |-  ( A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x )  <-> 
( A  e.  On  /\ 
A. x ( Lim  x  ->  A  e.  x ) ) )
121, 11bitr4i 243 1  |-  ( A  e.  om  <->  A. x
( Lim  x  ->  A  e.  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   omcom 4672
This theorem is referenced by:  dfom4  7366  dfom5  7367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673
  Copyright terms: Public domain W3C validator