Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpadd Unicode version

Theorem elpadd 29914
Description: Member of a projective subspace sum. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddfval.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddfval.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
elpadd  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  ( X  .+  Y )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, K    X, q    Y, q, r    S, q, r
Allowed substitution hints:    A( r, q)    B( r, q)    .+ ( r, q)    .\/ ( r, q)    .<_ ( r, q)    X( r)

Proof of Theorem elpadd
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 paddfval.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 paddfval.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 paddfval.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
51, 2, 3, 4paddval 29913 . . 3  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
65eleq2d 2455 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  ( X  .+  Y )  <->  S  e.  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) )
7 elun 3432 . . 3  |-  ( S  e.  ( ( X  u.  Y )  u. 
{ p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  <-> 
( S  e.  ( X  u.  Y )  \/  S  e.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
8 elun 3432 . . . 4  |-  ( S  e.  ( X  u.  Y )  <->  ( S  e.  X  \/  S  e.  Y ) )
9 breq1 4157 . . . . . 6  |-  ( p  =  S  ->  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  <->  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
1092rexbidv 2693 . . . . 5  |-  ( p  =  S  ->  ( E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
1110elrab 3036 . . . 4  |-  ( S  e.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) }  <->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
128, 11orbi12i 508 . . 3  |-  ( ( S  e.  ( X  u.  Y )  \/  S  e.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r
) } )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
137, 12bitri 241 . 2  |-  ( S  e.  ( ( X  u.  Y )  u. 
{ p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  <-> 
( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) )
146, 13syl6bb 253 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  ( X  .+  Y )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2651   {crab 2654    u. cun 3262    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   lecple 13464   joincjn 14329   Atomscatm 29379   + Pcpadd 29910
This theorem is referenced by:  elpaddn0  29915  elpadd0  29924  paddss1  29932  paddss2  29933  paddidm  29956  paddclN  29957  pmapjoin  29967
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-padd 29911
  Copyright terms: Public domain W3C validator