Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpadd Unicode version

Theorem elpadd 29988
Description: Member of a projective subspace sum. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddfval.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddfval.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
elpadd  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  ( X  .+  Y )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, K    X, q    Y, q, r    S, q, r
Allowed substitution hints:    A( r, q)    B( r, q)    .+ ( r, q)    .\/ ( r, q)    .<_ ( r, q)    X( r)

Proof of Theorem elpadd
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 paddfval.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 paddfval.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 paddfval.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
51, 2, 3, 4paddval 29987 . . 3  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
65eleq2d 2350 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  ( X  .+  Y )  <->  S  e.  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) )
7 elun 3316 . . 3  |-  ( S  e.  ( ( X  u.  Y )  u. 
{ p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  <-> 
( S  e.  ( X  u.  Y )  \/  S  e.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
8 elun 3316 . . . 4  |-  ( S  e.  ( X  u.  Y )  <->  ( S  e.  X  \/  S  e.  Y ) )
9 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( p  =  S  ->  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  <->  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
1092rexbidv 2586 . . . . 5  |-  ( p  =  S  ->  ( E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
1110elrab 2923 . . . 4  |-  ( S  e.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) }  <->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
128, 11orbi12i 507 . . 3  |-  ( ( S  e.  ( X  u.  Y )  \/  S  e.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r
) } )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
137, 12bitri 240 . 2  |-  ( S  e.  ( ( X  u.  Y )  u. 
{ p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  <-> 
( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) )
146, 13syl6bb 252 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  ( X  .+  Y )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   {crab 2547    u. cun 3150    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   lecple 13215   joincjn 14078   Atomscatm 29453   + Pcpadd 29984
This theorem is referenced by:  elpaddn0  29989  elpadd0  29998  paddss1  30006  paddss2  30007  paddidm  30030  paddclN  30031  pmapjoin  30041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-padd 29985
  Copyright terms: Public domain W3C validator