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Theorem elpaddn0 29989
Description: Member of projective subspace sum of non-empty sets. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddfval.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddfval.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
elpaddn0  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, K    X, q    Y, q, r    S, q, r    A, q, r    .\/ , q, r    .<_ , q, r    X, r
Allowed substitution hints:    .+ ( r, q)

Proof of Theorem elpaddn0
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 paddfval.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 paddfval.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 paddfval.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
51, 2, 3, 4elpadd 29988 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  ( X  .+  Y )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
65adantr 451 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) ) )
7 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  ->  X  C_  A )
87sseld 3179 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  S  e.  A ) )
9 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  K  e.  Lat )
10 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  C_  A  /\  S  e.  X )  ->  S  e.  A )
11103ad2antl2 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X )  ->  S  e.  A )
1211adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  e.  A )
13 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1413, 3atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
1512, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
16 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X )  ->  Y  C_  A )
1716sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  r  e.  A )
1813, 3atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
2013, 1, 2latlej1 14166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  S  .<_  ( S  .\/  r
) )
219, 15, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  .<_  ( S  .\/  r
) )
2221reximdva0 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  Y  =/=  (/) )  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) )
2322exp31 587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  X  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) ) )
2423com23 72 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  ( S  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) ) )
2524imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) ) )
2625ancld 536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  ( S  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) ) ) )
27 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  S  ->  (
q  .\/  r )  =  ( S  .\/  r ) )
2827breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  S  ->  ( S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) )
2928rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  S  ->  ( E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) )
3029rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) )  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )
3126, 30syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
3231adantrl 696 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
338, 32jcad 519 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
34 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  ->  Y  C_  A )
3534sseld 3179 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  S  e.  A ) )
36 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  K  e.  Lat )
37 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  C_  A  /\  q  e.  X )  ->  q  e.  A )
38373ad2antl2 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  q  e.  A )
3938adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  q  e.  A )
4013, 3atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
42 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  Y  C_  A )
4342sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  e.  A )
4443, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
4513, 1, 2latlej2 14167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) )  ->  S  .<_  ( q  .\/  S
) )
4636, 41, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  .<_  ( q  .\/  S
) )
4746ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  S  .<_  ( q  .\/  S ) ) )
4847ancld 536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  ( S  e.  Y  /\  S  .<_  ( q 
.\/  S ) ) ) )
49 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  S  ->  (
q  .\/  r )  =  ( q  .\/  S ) )
5049breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  S  ->  ( S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  S  .<_  ( q  .\/  S ) ) )
5150rspcev 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  Y  /\  S  .<_  ( q  .\/  S ) )  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )
5248, 51syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5352impancom 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( q  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5453ancld 536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( q  e.  X  ->  ( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
5554eximdv 1608 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( E. q  q  e.  X  ->  E. q
( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
56 n0 3464 . . . . . . . 8  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. q  q  e.  X )
57 df-rex 2549 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
)  <->  E. q ( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
5855, 56, 573imtr4g 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( X  =/=  (/)  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5958impancom 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  Y  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
6059adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
6135, 60jcad 519 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
6233, 61jaod 369 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) )
63 pm4.72 846 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y
)  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )  <->  ( ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
6462, 63sylib 188 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) ) )
656, 64bitr4d 247 1  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 29453   + Pcpadd 29984
This theorem is referenced by:  paddvaln0N  29990  elpaddri  29991  elpaddat  29993  paddasslem15  30023  paddasslem16  30024  pmodlem2  30036  pmapjat1  30042
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-lub 14108  df-join 14110  df-lat 14152  df-ats 29457  df-padd 29985
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