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Theorem elpaddn0 30671
Description: Member of projective subspace sum of non-empty sets. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddfval.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddfval.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
elpaddn0  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, K    X, q    Y, q, r    S, q, r    A, q, r    .\/ , q, r    .<_ , q, r    X, r
Allowed substitution hints:    .+ ( r, q)

Proof of Theorem elpaddn0
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 paddfval.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 paddfval.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 paddfval.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
51, 2, 3, 4elpadd 30670 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  ( X  .+  Y )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
65adantr 453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) ) )
7 simpl2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  ->  X  C_  A )
87sseld 3349 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  S  e.  A ) )
9 simpll1 997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  K  e.  Lat )
10 ssel2 3345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  C_  A  /\  S  e.  X )  ->  S  e.  A )
11103ad2antl2 1121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X )  ->  S  e.  A )
1211adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  e.  A )
13 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1413, 3atbase 30161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
16 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X )  ->  Y  C_  A )
1716sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  r  e.  A )
1813, 3atbase 30161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
2013, 1, 2latlej1 14494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  S  .<_  ( S  .\/  r
) )
219, 15, 19, 20syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  .<_  ( S  .\/  r
) )
2221reximdva0 3641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  Y  =/=  (/) )  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) )
2322exp31 589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  X  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) ) )
2423com23 75 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  ( S  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) ) )
2524imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) ) )
2625ancld 538 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  ( S  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) ) ) )
27 oveq1 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  S  ->  (
q  .\/  r )  =  ( S  .\/  r ) )
2827breq2d 4227 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  S  ->  ( S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) )
2928rexbidv 2728 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  S  ->  ( E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) )
3029rspcev 3054 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) )  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )
3126, 30syl6 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
3231adantrl 698 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
338, 32jcad 521 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
34 simpl3 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  ->  Y  C_  A )
3534sseld 3349 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  S  e.  A ) )
36 simpll1 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  K  e.  Lat )
37 ssel2 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  C_  A  /\  q  e.  X )  ->  q  e.  A )
38373ad2antl2 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  q  e.  A )
3938adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  q  e.  A )
4013, 3atbase 30161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
42 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  Y  C_  A )
4342sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  e.  A )
4443, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
4513, 1, 2latlej2 14495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) )  ->  S  .<_  ( q  .\/  S
) )
4636, 41, 44, 45syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  .<_  ( q  .\/  S
) )
4746ex 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  S  .<_  ( q  .\/  S ) ) )
4847ancld 538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  ( S  e.  Y  /\  S  .<_  ( q 
.\/  S ) ) ) )
49 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  S  ->  (
q  .\/  r )  =  ( q  .\/  S ) )
5049breq2d 4227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  S  ->  ( S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  S  .<_  ( q  .\/  S ) ) )
5150rspcev 3054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  Y  /\  S  .<_  ( q  .\/  S ) )  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )
5248, 51syl6 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5352impancom 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( q  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5453ancld 538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( q  e.  X  ->  ( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
5554eximdv 1633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( E. q  q  e.  X  ->  E. q
( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
56 n0 3639 . . . . . . . 8  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. q  q  e.  X )
57 df-rex 2713 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
)  <->  E. q ( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
5855, 56, 573imtr4g 263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( X  =/=  (/)  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5958impancom 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  Y  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
6059adantrr 699 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
6135, 60jcad 521 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
6233, 61jaod 371 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) )
63 pm4.72 848 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y
)  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )  <->  ( ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
6462, 63sylib 190 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) ) )
656, 64bitr4d 249 1  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   lecple 13541   joincjn 14406   Latclat 14479   Atomscatm 30135   + Pcpadd 30666
This theorem is referenced by:  paddvaln0N  30672  elpaddri  30673  elpaddat  30675  paddasslem15  30705  paddasslem16  30706  pmodlem2  30718  pmapjat1  30724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-lub 14436  df-join 14438  df-lat 14480  df-ats 30139  df-padd 30667
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