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Theorem elpaddn0 30294
Description: Member of projective subspace sum of non-empty sets. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddfval.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddfval.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
elpaddn0  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, K    X, q    Y, q, r    S, q, r    A, q, r    .\/ , q, r    .<_ , q, r    X, r
Allowed substitution hints:    .+ ( r, q)

Proof of Theorem elpaddn0
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 paddfval.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 paddfval.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 paddfval.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
51, 2, 3, 4elpadd 30293 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  ( X  .+  Y )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
65adantr 452 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) ) )
7 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  ->  X  C_  A )
87sseld 3315 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  S  e.  A ) )
9 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  K  e.  Lat )
10 ssel2 3311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  C_  A  /\  S  e.  X )  ->  S  e.  A )
11103ad2antl2 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X )  ->  S  e.  A )
1211adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  e.  A )
13 eqid 2412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1413, 3atbase 29784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
16 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X )  ->  Y  C_  A )
1716sselda 3316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  r  e.  A )
1813, 3atbase 29784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
2013, 1, 2latlej1 14452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  S  .<_  ( S  .\/  r
) )
219, 15, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  .<_  ( S  .\/  r
) )
2221reximdva0 3607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  Y  =/=  (/) )  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) )
2322exp31 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  X  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) ) )
2423com23 74 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  ( S  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) ) )
2524imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) ) )
2625ancld 537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  ( S  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) ) ) )
27 oveq1 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  S  ->  (
q  .\/  r )  =  ( S  .\/  r ) )
2827breq2d 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  S  ->  ( S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) )
2928rexbidv 2695 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  S  ->  ( E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) )
3029rspcev 3020 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) )  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )
3126, 30syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
3231adantrl 697 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
338, 32jcad 520 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
34 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  ->  Y  C_  A )
3534sseld 3315 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  S  e.  A ) )
36 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  K  e.  Lat )
37 ssel2 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  C_  A  /\  q  e.  X )  ->  q  e.  A )
38373ad2antl2 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  q  e.  A )
3938adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  q  e.  A )
4013, 3atbase 29784 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
42 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  Y  C_  A )
4342sselda 3316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  e.  A )
4443, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
4513, 1, 2latlej2 14453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) )  ->  S  .<_  ( q  .\/  S
) )
4636, 41, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  .<_  ( q  .\/  S
) )
4746ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  S  .<_  ( q  .\/  S ) ) )
4847ancld 537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  ( S  e.  Y  /\  S  .<_  ( q 
.\/  S ) ) ) )
49 oveq2 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  S  ->  (
q  .\/  r )  =  ( q  .\/  S ) )
5049breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  S  ->  ( S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  S  .<_  ( q  .\/  S ) ) )
5150rspcev 3020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  Y  /\  S  .<_  ( q  .\/  S ) )  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )
5248, 51syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5352impancom 428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( q  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5453ancld 537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( q  e.  X  ->  ( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
5554eximdv 1629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( E. q  q  e.  X  ->  E. q
( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
56 n0 3605 . . . . . . . 8  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. q  q  e.  X )
57 df-rex 2680 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
)  <->  E. q ( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
5855, 56, 573imtr4g 262 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( X  =/=  (/)  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5958impancom 428 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  Y  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
6059adantrr 698 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
6135, 60jcad 520 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
6233, 61jaod 370 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) )
63 pm4.72 847 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y
)  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )  <->  ( ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
6462, 63sylib 189 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) ) )
656, 64bitr4d 248 1  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   E.wrex 2675    C_ wss 3288   (/)c0 3596   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   lecple 13499   joincjn 14364   Latclat 14437   Atomscatm 29758   + Pcpadd 30289
This theorem is referenced by:  paddvaln0N  30295  elpaddri  30296  elpaddat  30298  paddasslem15  30328  paddasslem16  30329  pmodlem2  30341  pmapjat1  30347
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-undef 6510  df-riota 6516  df-lub 14394  df-join 14396  df-lat 14438  df-ats 29762  df-padd 30290
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