MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpi1i Unicode version

Theorem elpi1i 18648
Description: The elements of the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
elpi1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
elpi1.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
elpi1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
elpi1i.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
elpi1i.4  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  Y )
elpi1i.5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  Y )
Assertion
Ref Expression
elpi1i  |-  ( ph  ->  [ F ] ( 
~=ph  `  J )  e.  B )

Proof of Theorem elpi1i
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpi1i.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 elpi1i.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  Y )
3 elpi1i.5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  Y )
4 eceq1 6783 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  [ f ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )
54eqcomd 2363 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  [ F ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ f ] (  ~=ph  `  J
) )
65biantrud 493 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  Y  /\  ( f ` 
1 )  =  Y )  <->  ( ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y )  /\  [ F ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ) )
7 fveq1 5607 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
87eqeq1d 2366 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  0
)  =  Y  <->  ( F `  0 )  =  Y ) )
9 fveq1 5607 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
109eqeq1d 2366 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  1
)  =  Y  <->  ( F `  1 )  =  Y ) )
118, 10anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  Y  /\  ( f ` 
1 )  =  Y )  <->  ( ( F `
 0 )  =  Y  /\  ( F `
 1 )  =  Y ) ) )
126, 11bitr3d 246 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y )  /\  [ F ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ f ] (  ~=ph  `  J
) )  <->  ( ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )
1312rspcev 2960 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( F ` 
0 )  =  Y  /\  ( F ` 
1 )  =  Y ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y )  /\  [ F ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) )
141, 2, 3, 13syl12anc 1180 . 2  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y )  /\  [ F ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) )
15 elpi1.g . . 3  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
16 elpi1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
17 elpi1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
18 elpi1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
1915, 16, 17, 18elpi1 18647 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ F ]
(  ~=ph  `  J )  e.  B  <->  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y )  /\  [ F ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ) )
2014, 19mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  [ F ] ( 
~=ph  `  J )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   E.wrex 2620   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   [cec 6745   0cc0 8827   1c1 8828   Basecbs 13245  TopOnctopon 16738    Cn ccn 17060   IIcii 18482    ~=ph cphtpc 18571    pi 1 cpi1 18605
This theorem is referenced by:  pi1inv  18654  pi1xfrf  18655  pi1cof  18661  sconpi1  24174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-ec 6749  df-qs 6753  df-map 6862  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-divs 13511  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-ii 18484  df-htpy 18572  df-phtpy 18573  df-phtpc 18594  df-om1 18608  df-pi1 18610
  Copyright terms: Public domain W3C validator