HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elpjrn Structured version   Unicode version

Theorem elpjrn 23724
Description: Reconstruction of the subspace of a projection operator. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elpjrn  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  ran  T  =  { x  e.  ~H  |  ( T `
 x )  =  x } )
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem elpjrn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpjch 23723 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( ran  T  e.  CH 
/\  T  =  (
proj  h `  ran  T
) ) )
21simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  ran  T  e.  CH )
3 chss 22763 . . . . . . 7  |-  ( ran 
T  e.  CH  ->  ran 
T  C_  ~H )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  ran  T  C_  ~H )
54sseld 3333 . . . . 5  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( x  e.  ran  T  ->  x  e.  ~H ) )
6 elpjhmop 23719 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  T  e.  HrmOp )
7 hmopf 23408 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  T : ~H --> ~H )
9 ffn 5620 . . . . . . . 8  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  T  Fn  ~H )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  T  Fn  ~H )
11 fvelrnb 5803 . . . . . . 7  |-  ( T  Fn  ~H  ->  (
x  e.  ran  T  <->  E. y  e.  ~H  ( T `  y )  =  x ) )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( x  e.  ran  T  <->  E. y  e.  ~H  ( T `  y )  =  x ) )
13 fvco3 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  T ) `  y
)  =  ( T `
 ( T `  y ) ) )
148, 13sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  T ) `  y )  =  ( T `  ( T `
 y ) ) )
15 elpjidm 23718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( T  o.  T
)  =  T )
1615adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T  o.  T )  =  T )
1716fveq1d 5759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  T ) `  y )  =  ( T `  y ) )
1814, 17eqtr3d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  ( T `  y ) )  =  ( T `
 y ) )
19 fveq2 5757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  y )  =  x  ->  ( T `  ( T `  y ) )  =  ( T `  x
) )
20 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  y )  =  x  ->  ( T `  y )  =  x )
2119, 20eqeq12d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  y )  =  x  ->  (
( T `  ( T `  y )
)  =  ( T `
 y )  <->  ( T `  x )  =  x ) )
2218, 21syl5ibcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 y )  =  x  ->  ( T `  x )  =  x ) )
2322rexlimdva 2836 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( E. y  e. 
~H  ( T `  y )  =  x  ->  ( T `  x )  =  x ) )
2412, 23sylbid 208 . . . . 5  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( x  e.  ran  T  ->  ( T `  x )  =  x ) )
255, 24jcad 521 . . . 4  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( x  e.  ran  T  ->  ( x  e. 
~H  /\  ( T `  x )  =  x ) ) )
26 fnfvelrn 5896 . . . . . . 7  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ran  T
)
2710, 26sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x )  e.  ran  T )
28 eleq1 2502 . . . . . 6  |-  ( ( T `  x )  =  x  ->  (
( T `  x
)  e.  ran  T  <->  x  e.  ran  T ) )
2927, 28syl5ibcom 213 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 x )  =  x  ->  x  e.  ran  T ) )
3029expimpd 588 . . . 4  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( ( x  e. 
~H  /\  ( T `  x )  =  x )  ->  x  e.  ran  T ) )
3125, 30impbid 185 . . 3  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( x  e.  ran  T  <-> 
( x  e.  ~H  /\  ( T `  x
)  =  x ) ) )
3231abbi2dv 2557 . 2  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  ran  T  =  { x  |  ( x  e. 
~H  /\  ( T `  x )  =  x ) } )
33 df-rab 2720 . 2  |-  { x  e.  ~H  |  ( T `
 x )  =  x }  =  {
x  |  ( x  e.  ~H  /\  ( T `  x )  =  x ) }
3432, 33syl6eqr 2492 1  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  ran  T  =  { x  e.  ~H  |  ( T `
 x )  =  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   {cab 2428   E.wrex 2712   {crab 2715    C_ wss 3306   ran crn 4908    o. ccom 4911    Fn wfn 5478   -->wf 5479   ` cfv 5483   ~Hchil 22453   CHcch 22463   proj 
hcpjh 22471   HrmOpcho 22484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cc 8346  ax-dc 8357  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101  ax-hilex 22533  ax-hfvadd 22534  ax-hvcom 22535  ax-hvass 22536  ax-hv0cl 22537  ax-hvaddid 22538  ax-hfvmul 22539  ax-hvmulid 22540  ax-hvmulass 22541  ax-hvdistr1 22542  ax-hvdistr2 22543  ax-hvmul0 22544  ax-hfi 22612  ax-his1 22615  ax-his2 22616  ax-his3 22617  ax-his4 22618  ax-hcompl 22735
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-omul 6758  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-acn 7860  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-lm 17324  df-t1 17409  df-haus 17410  df-cmp 17481  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-fcls 18004  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-cncf 18939  df-cfil 19239  df-cau 19240  df-cmet 19241  df-grpo 21810  df-gid 21811  df-ginv 21812  df-gdiv 21813  df-ablo 21901  df-subgo 21921  df-vc 22056  df-nv 22102  df-va 22105  df-ba 22106  df-sm 22107  df-0v 22108  df-vs 22109  df-nmcv 22110  df-ims 22111  df-dip 22228  df-ssp 22252  df-lno 22276  df-nmoo 22277  df-blo 22278  df-0o 22279  df-ph 22345  df-cbn 22396  df-hlo 22419  df-hnorm 22502  df-hba 22503  df-hvsub 22505  df-hlim 22506  df-hcau 22507  df-sh 22740  df-ch 22755  df-oc 22785  df-ch0 22786  df-shs 22841  df-pjh 22928  df-h0op 23282  df-iop 23283  df-nmop 23373  df-cnop 23374  df-lnop 23375  df-bdop 23376  df-unop 23377  df-hmop 23378
  Copyright terms: Public domain W3C validator