HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elpjrn Unicode version

Theorem elpjrn 22878
Description: Reconstruction of the subspace of a projection operator. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elpjrn  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  ran  T  =  { x  e.  ~H  |  ( T `
 x )  =  x } )
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem elpjrn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpjch 22877 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( ran  T  e.  CH 
/\  T  =  (
proj  h `  ran  T
) ) )
21simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  ran  T  e.  CH )
3 chss 21917 . . . . . . 7  |-  ( ran 
T  e.  CH  ->  ran 
T  C_  ~H )
42, 3syl 15 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  ran  T  C_  ~H )
54sseld 3255 . . . . 5  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( x  e.  ran  T  ->  x  e.  ~H ) )
6 elpjhmop 22873 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  T  e.  HrmOp )
7 hmopf 22562 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
86, 7syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  T : ~H --> ~H )
9 ffn 5469 . . . . . . . 8  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  T  Fn  ~H )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  T  Fn  ~H )
11 fvelrnb 5650 . . . . . . 7  |-  ( T  Fn  ~H  ->  (
x  e.  ran  T  <->  E. y  e.  ~H  ( T `  y )  =  x ) )
1210, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( x  e.  ran  T  <->  E. y  e.  ~H  ( T `  y )  =  x ) )
13 fvco3 5676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  T ) `  y
)  =  ( T `
 ( T `  y ) ) )
148, 13sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  T ) `  y )  =  ( T `  ( T `
 y ) ) )
15 elpjidm 22872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( T  o.  T
)  =  T )
1615adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T  o.  T )  =  T )
1716fveq1d 5607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  T ) `  y )  =  ( T `  y ) )
1814, 17eqtr3d 2392 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  ( T `  y ) )  =  ( T `
 y ) )
19 fveq2 5605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  y )  =  x  ->  ( T `  ( T `  y ) )  =  ( T `  x
) )
20 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  y )  =  x  ->  ( T `  y )  =  x )
2119, 20eqeq12d 2372 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  y )  =  x  ->  (
( T `  ( T `  y )
)  =  ( T `
 y )  <->  ( T `  x )  =  x ) )
2218, 21syl5ibcom 211 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 y )  =  x  ->  ( T `  x )  =  x ) )
2322rexlimdva 2743 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( E. y  e. 
~H  ( T `  y )  =  x  ->  ( T `  x )  =  x ) )
2412, 23sylbid 206 . . . . 5  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( x  e.  ran  T  ->  ( T `  x )  =  x ) )
255, 24jcad 519 . . . 4  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( x  e.  ran  T  ->  ( x  e. 
~H  /\  ( T `  x )  =  x ) ) )
26 fnfvelrn 5742 . . . . . . 7  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ran  T
)
2710, 26sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x )  e.  ran  T )
28 eleq1 2418 . . . . . 6  |-  ( ( T `  x )  =  x  ->  (
( T `  x
)  e.  ran  T  <->  x  e.  ran  T ) )
2927, 28syl5ibcom 211 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  ran  proj  h  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 x )  =  x  ->  x  e.  ran  T ) )
3029expimpd 586 . . . 4  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( ( x  e. 
~H  /\  ( T `  x )  =  x )  ->  x  e.  ran  T ) )
3125, 30impbid 183 . . 3  |-  ( T  e.  ran  proj  h  -> 
( x  e.  ran  T  <-> 
( x  e.  ~H  /\  ( T `  x
)  =  x ) ) )
3231abbi2dv 2473 . 2  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  ran  T  =  { x  |  ( x  e. 
~H  /\  ( T `  x )  =  x ) } )
33 df-rab 2628 . 2  |-  { x  e.  ~H  |  ( T `
 x )  =  x }  =  {
x  |  ( x  e.  ~H  /\  ( T `  x )  =  x ) }
3432, 33syl6eqr 2408 1  |-  ( T  e.  ran  proj  h  ->  ran  T  =  { x  e.  ~H  |  ( T `
 x )  =  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344   E.wrex 2620   {crab 2623    C_ wss 3228   ran crn 4769    o. ccom 4772    Fn wfn 5329   -->wf 5330   ` cfv 5334   ~Hchil 21607   CHcch 21617   proj 
hcpjh 21625   HrmOpcho 21638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cc 8148  ax-dc 8159  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904  ax-hilex 21687  ax-hfvadd 21688  ax-hvcom 21689  ax-hvass 21690  ax-hv0cl 21691  ax-hvaddid 21692  ax-hfvmul 21693  ax-hvmulid 21694  ax-hvmulass 21695  ax-hvdistr1 21696  ax-hvdistr2 21697  ax-hvmul0 21698  ax-hfi 21766  ax-his1 21769  ax-his2 21770  ax-his3 21771  ax-his4 21772  ax-hcompl 21889
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-omul 6568  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-acn 7662  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ioo 10749  df-ico 10751  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-clim 12052  df-rlim 12053  df-sum 12250  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-pt 13438  df-prds 13441  df-xrs 13496  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-qtop 13503  df-imas 13504  df-xps 13506  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-mulg 14585  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-lm 17059  df-t1 17142  df-haus 17143  df-cmp 17214  df-tx 17357  df-hmeo 17546  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-fcls 17732  df-xms 17981  df-ms 17982  df-tms 17983  df-cncf 18479  df-cfil 18779  df-cau 18780  df-cmet 18781  df-grpo 20964  df-gid 20965  df-ginv 20966  df-gdiv 20967  df-ablo 21055  df-subgo 21075  df-vc 21210  df-nv 21256  df-va 21259  df-ba 21260  df-sm 21261  df-0v 21262  df-vs 21263  df-nmcv 21264  df-ims 21265  df-dip 21382  df-ssp 21406  df-lno 21430  df-nmoo 21431  df-blo 21432  df-0o 21433  df-ph 21499  df-cbn 21550  df-hlo 21573  df-hnorm 21656  df-hba 21657  df-hvsub 21659  df-hlim 21660  df-hcau 21661  df-sh 21894  df-ch 21909  df-oc 21939  df-ch0 21940  df-shs 21995  df-pjh 22082  df-h0op 22436  df-iop 22437  df-nmop 22527  df-cnop 22528  df-lnop 22529  df-bdop 22530  df-unop 22531  df-hmop 22532
  Copyright terms: Public domain W3C validator