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Theorem elply2 19578
Description: The coefficient function can be assumed to have zeroes outside  0 ... n. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
elply2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, a, n, z, S    F, a, n
Allowed substitution hints:    F( z, k)

Proof of Theorem elply2
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply 19577 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
2 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
3 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  S  C_  CC )
4 cnex 8818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  _V
5 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
63, 4, 5sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  S  e.  _V )
7 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { 0 }  e.  _V
8 unexg 4521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  _V  /\  { 0 }  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
96, 7, 8sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e.  _V )
10 nn0ex 9971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  e.  _V
11 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  f : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
129, 10, 11sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) 
<->  f : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
132, 12mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  f : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
14 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  x  e. 
NN0 )  ->  (
f `  x )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
1513, 14sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
f `  x )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
16 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } )
17 c0ex 8832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
1817snss 3748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } ) )
1916, 18mpbir 200 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( S  u.  {
0 } )
20 ifcl 3601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( S  u.  { 0 } )  /\  0  e.  ( S  u.  {
0 } ) )  ->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
2115, 19, 20sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  x  e.  NN0 )  ->  if ( x  e.  (
0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )
2321, 22fmptd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
24 elmapg 6785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) 
<->  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
259, 10, 24sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2623, 25mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
27 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  (
x  e.  ( 0 ... n )  <->  k  e.  ( 0 ... n
) ) )
28 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  (
f `  x )  =  ( f `  k ) )
29 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  0  =  0 )
3027, 28, 29ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  if ( x  e.  (
0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 )  =  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 ) )
31 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
3231, 17ifex 3623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k
) ,  0 )  e.  _V
3330, 22, 32fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 ) )
3433ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  ( 0 ... n
) ,  ( f `
 k ) ,  0 ) )
35 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  k  e.  ( 0 ... n )  ->  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 )  =  0 )
3635eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  k  e.  ( 0 ... n )  -> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 )  <->  ( (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =  0 ) )
3734, 36syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 ) )  -> 
( -.  k  e.  ( 0 ... n
)  ->  ( (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =  0 ) )
3837necon1ad 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  e.  ( 0 ... n
) ) )
39 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  <_  n )
4038, 39syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) )
4140anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) )
4241ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) )
43 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  n  e.  NN0 )
44 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
4544a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  0  e.  CC )
4645snssd 3760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  { 0 }  C_  CC )
473, 46unssd 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )
48 fss 5397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> CC )
4923, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) : NN0 --> CC )
50 plyco0 19574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) ) )
5143, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
( ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) ) )
5242, 51mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
53 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
54 imaeq1 5007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ) )
5554eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  ( (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 } ) )
56 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( a `  k )  =  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `  k
) )
57 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
5857, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `  k
)  =  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k
) ,  0 ) )
59 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 )  =  ( f `
 k ) )
6058, 59eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `  k
)  =  ( f `
 k ) )
6156, 60sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  (
a `  k )  =  ( f `  k ) )
6261oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  (
( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
6362sumeq2dv 12176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
6463mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
6564eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  <->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
6655, 65anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )  <-> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) ) )
6766rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  E. a  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) )
6826, 52, 53, 67syl12anc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) )
69 eqeq1 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  <->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
7069anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  <->  ( (
a " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) ) )
7170rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  ( E. a  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  <->  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) ) )
7268, 71syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
7372rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( E. f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
7473reximdva 2655 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( E. n  e.  NN0  E. f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
7574imdistani 671 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  ->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
761, 75sylbi 187 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
77 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( a " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
7877reximi 2650 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  E. a  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
7978reximi 2650 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) F  =  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
8079anim2i 552 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
81 elply 19577 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
8280, 81sylibr 203 . 2  |-  ( ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
8376, 82impbii 180 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   ^cexp 11104   sum_csu 12158  Polycply 19566
This theorem is referenced by:  plyadd  19599  plymul  19600  coeeu  19607  dgrlem  19611  coeid  19620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-sum 12159  df-ply 19570
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