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Theorem elply2 20120
Description: The coefficient function can be assumed to have zeroes outside  0 ... n. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
elply2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, a, n, z, S    F, a, n
Allowed substitution hints:    F( z, k)

Proof of Theorem elply2
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply 20119 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
2 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
3 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  S  C_  CC )
4 cnex 9076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  _V
5 ssexg 4352 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
63, 4, 5sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  S  e.  _V )
7 snex 4408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { 0 }  e.  _V
8 unexg 4713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  _V  /\  { 0 }  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
96, 7, 8sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e.  _V )
10 nn0ex 10232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  e.  _V
11 elmapg 7034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  f : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
129, 10, 11sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) 
<->  f : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
132, 12mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  f : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
1413ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
f `  x )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
15 ssun2 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } )
16 c0ex 9090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
1716snss 3928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } ) )
1815, 17mpbir 202 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( S  u.  {
0 } )
19 ifcl 3777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( S  u.  { 0 } )  /\  0  e.  ( S  u.  {
0 } ) )  ->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
2014, 18, 19sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  x  e.  NN0 )  ->  if ( x  e.  (
0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
21 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )
2220, 21fmptd 5896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
23 elmapg 7034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) 
<->  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
249, 10, 23sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2522, 24mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
26 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  (
x  e.  ( 0 ... n )  <->  k  e.  ( 0 ... n
) ) )
27 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  (
f `  x )  =  ( f `  k ) )
28 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  0  =  0 )
2926, 27, 28ifbieq12d 3763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  if ( x  e.  (
0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 )  =  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 ) )
30 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
3130, 16ifex 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k
) ,  0 )  e.  _V
3229, 21, 31fvmpt 5809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 ) )
3332ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  ( 0 ... n
) ,  ( f `
 k ) ,  0 ) )
34 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  k  e.  ( 0 ... n )  ->  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 )  =  0 )
3534eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  k  e.  ( 0 ... n )  -> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 )  <->  ( (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =  0 ) )
3633, 35syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 ) )  -> 
( -.  k  e.  ( 0 ... n
)  ->  ( (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =  0 ) )
3736necon1ad 2673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  e.  ( 0 ... n
) ) )
38 elfzle2 11066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  <_  n )
3937, 38syl6 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) )
4039anassrs 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) )
4140ralrimiva 2791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) )
42 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  n  e.  NN0 )
43 0cn 9089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  0  e.  CC )
4544snssd 3945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  { 0 }  C_  CC )
463, 45unssd 3525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )
47 fss 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> CC )
4822, 46, 47syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) : NN0 --> CC )
49 plyco0 20116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) ) )
5042, 48, 49syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
( ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) ) )
5141, 50mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
52 eqidd 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
53 imaeq1 5201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ) )
5453eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  ( (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 } ) )
55 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( a `  k )  =  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `  k
) )
56 elfznn0 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
5756, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `  k
)  =  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k
) ,  0 ) )
58 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 )  =  ( f `
 k ) )
5957, 58eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `  k
)  =  ( f `
 k ) )
6055, 59sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  (
a `  k )  =  ( f `  k ) )
6160oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  (
( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
6261sumeq2dv 12502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
6362mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
6463eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  <->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
6554, 64anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )  <-> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) ) )
6665rspcev 3054 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  E. a  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) )
6725, 51, 52, 66syl12anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) )
68 eqeq1 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  <->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
6968anbi2d 686 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  <->  ( (
a " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) ) )
7069rexbidv 2728 . . . . . . 7  |-  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  ( E. a  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  <->  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) ) )
7167, 70syl5ibrcom 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
7271rexlimdva 2832 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( E. f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
7372reximdva 2820 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( E. n  e.  NN0  E. f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
7473imdistani 673 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  ->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
751, 74sylbi 189 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
76 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( a " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
7776reximi 2815 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  E. a  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
7877reximi 2815 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) F  =  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
7978anim2i 554 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
80 elply 20119 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
8179, 80sylibr 205 . 2  |-  ( ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
8275, 81impbii 182 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   ifcif 3741   {csn 3816   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   "cima 4884   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    <_ cle 9126   NN0cn0 10226   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048   ^cexp 11387   sum_csu 12484  Polycply 20108
This theorem is referenced by:  plyadd  20141  plymul  20142  coeeu  20149  dgrlem  20153  coeid  20162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-sum 12485  df-ply 20112
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