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Theorem elply2 20076
Description: The coefficient function can be assumed to have zeroes outside  0 ... n. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
elply2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, a, n, z, S    F, a, n
Allowed substitution hints:    F( z, k)

Proof of Theorem elply2
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply 20075 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
2 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
3 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  S  C_  CC )
4 cnex 9035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  _V
5 ssexg 4317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
63, 4, 5sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  S  e.  _V )
7 snex 4373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { 0 }  e.  _V
8 unexg 4677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  _V  /\  { 0 }  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
96, 7, 8sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e.  _V )
10 nn0ex 10191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  e.  _V
11 elmapg 6998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  f : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
129, 10, 11sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) 
<->  f : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
132, 12mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  f : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
1413ffvelrnda 5837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
f `  x )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
15 ssun2 3479 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } )
16 c0ex 9049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
1716snss 3894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } ) )
1815, 17mpbir 201 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( S  u.  {
0 } )
19 ifcl 3743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( S  u.  { 0 } )  /\  0  e.  ( S  u.  {
0 } ) )  ->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
2014, 18, 19sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  x  e.  NN0 )  ->  if ( x  e.  (
0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
21 eqid 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )
2220, 21fmptd 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
23 elmapg 6998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) 
<->  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
249, 10, 23sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2522, 24mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
26 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  (
x  e.  ( 0 ... n )  <->  k  e.  ( 0 ... n
) ) )
27 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  (
f `  x )  =  ( f `  k ) )
28 eqidd 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  0  =  0 )
2926, 27, 28ifbieq12d 3729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  if ( x  e.  (
0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 )  =  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 ) )
30 fvex 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
3130, 16ifex 3765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k
) ,  0 )  e.  _V
3229, 21, 31fvmpt 5773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 ) )
3332ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  ( 0 ... n
) ,  ( f `
 k ) ,  0 ) )
34 iffalse 3714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  k  e.  ( 0 ... n )  ->  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 )  =  0 )
3534eqeq2d 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  k  e.  ( 0 ... n )  -> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 )  <->  ( (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =  0 ) )
3633, 35syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 ) )  -> 
( -.  k  e.  ( 0 ... n
)  ->  ( (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =  0 ) )
3736necon1ad 2642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  e.  ( 0 ... n
) ) )
38 elfzle2 11025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  <_  n )
3937, 38syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) )
4039anassrs 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) )
4140ralrimiva 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) )
42 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  n  e.  NN0 )
43 0cn 9048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  0  e.  CC )
4544snssd 3911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  { 0 }  C_  CC )
463, 45unssd 3491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )
47 fss 5566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> CC )
4822, 46, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) : NN0 --> CC )
49 plyco0 20072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) ) )
5042, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
( ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  n ) ) )
5141, 50mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
52 eqidd 2413 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
53 imaeq1 5165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ) )
5453eqeq1d 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  ( (
x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 } ) )
55 fveq1 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( a `  k )  =  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `  k
) )
56 elfznn0 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
5756, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `  k
)  =  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k
) ,  0 ) )
58 iftrue 3713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  if ( k  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  k ) ,  0 )  =  ( f `
 k ) )
5957, 58eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) `  k
)  =  ( f `
 k ) )
6055, 59sylan9eq 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  (
a `  k )  =  ( f `  k ) )
6160oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  (
( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
6261sumeq2dv 12460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
6362mpteq2dv 4264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
6463eqeq2d 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  <->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
6554, 64anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  ->  ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )  <-> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x
) ,  0 ) ) " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( f `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) ) )
6665rspcev 3020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  /\  ( ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  e.  ( 0 ... n ) ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  E. a  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) )
6725, 51, 52, 66syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) )
68 eqeq1 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  <->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
6968anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  <->  ( (
a " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) ) )
7069rexbidv 2695 . . . . . . 7  |-  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  ( E. a  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  <->  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) ) )
7167, 70syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )  ->  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
7271rexlimdva 2798 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( E. f  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
7372reximdva 2786 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( E. n  e.  NN0  E. f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
7473imdistani 672 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. f  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( f `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  ->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
751, 74sylbi 188 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
76 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( a " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
7776reximi 2781 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  E. a  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
7877reximi 2781 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) F  =  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
7978anim2i 553 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
80 elply 20075 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
8179, 80sylibr 204 . 2  |-  ( ( S  C_  CC  /\  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
8275, 81impbii 181 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924    u. cun 3286    C_ wss 3288   ifcif 3707   {csn 3782   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   "cima 4848   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    ^m cmap 6985   CCcc 8952   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    <_ cle 9085   NN0cn0 10185   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007   ^cexp 11345   sum_csu 12442  Polycply 20064
This theorem is referenced by:  plyadd  20097  plymul  20098  coeeu  20105  dgrlem  20109  coeid  20118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-seq 11287  df-sum 12443  df-ply 20068
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