Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elplyr Structured version   Unicode version

Theorem elplyr 20120
 Description: Sufficient condition for elementhood in the set of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
elplyr Poly
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem elplyr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . 2
2 simp2 958 . . 3
3 simp3 959 . . . . 5
4 ssun1 3510 . . . . 5
5 fss 5599 . . . . 5
63, 4, 5sylancl 644 . . . 4
7 0cn 9084 . . . . . . . . 9
87a1i 11 . . . . . . . 8
98snssd 3943 . . . . . . 7
101, 9unssd 3523 . . . . . 6
11 cnex 9071 . . . . . 6
12 ssexg 4349 . . . . . 6
1310, 11, 12sylancl 644 . . . . 5
14 nn0ex 10227 . . . . 5
15 elmapg 7031 . . . . 5
1613, 14, 15sylancl 644 . . . 4
176, 16mpbird 224 . . 3
18 eqidd 2437 . . 3
19 oveq2 6089 . . . . . . 7
2019sumeq1d 12495 . . . . . 6
2120mpteq2dv 4296 . . . . 5
2221eqeq2d 2447 . . . 4
23 fveq1 5727 . . . . . . . 8
2423oveq1d 6096 . . . . . . 7
2524sumeq2sdv 12498 . . . . . 6
2625mpteq2dv 4296 . . . . 5
2726eqeq2d 2447 . . . 4
2822, 27rspc2ev 3060 . . 3
292, 17, 18, 28syl3anc 1184 . 2
30 elply 20114 . 2 Poly
311, 29, 30sylanbrc 646 1 Poly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706  cvv 2956   cun 3318   wss 3320  csn 3814   cmpt 4266  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmap 7018  cc 8988  cc0 8990   cmul 8995  cn0 10221  cfz 11043  cexp 11382  csu 12479  Polycply 20103 This theorem is referenced by:  elplyd  20121  plypf1  20131 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324  df-sum 12480  df-ply 20107
 Copyright terms: Public domain W3C validator