MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2 Unicode version

Theorem elpm2 7012
Description: The predicate "is a partial function." (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
elmap.1  |-  A  e. 
_V
elmap.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
elpm2  |-  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F 
C_  B ) )

Proof of Theorem elpm2
StepHypRef Expression
1 elmap.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 elmap.2 . 2  |-  B  e. 
_V
3 elpm2g 7000 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B ) ) )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F 
C_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   dom cdm 4845   -->wf 5417  (class class class)co 6048    ^pm cpm 6986
This theorem is referenced by:  rlimf  12258  rlimss  12259  lo1f  12275  lo1dm  12276  o1f  12286  o1dm  12287  coapm  14189  pmltpclem2  19307  mbff  19480  limcrcl  19722  dvnres  19778  c1liplem1  19841  c1lip2  19843  ulmf2  20261
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-pm 6988
  Copyright terms: Public domain W3C validator