MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2g Unicode version

Theorem elpm2g 6872
Description: The predicate "is a partial function." (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpm2g  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B ) ) )

Proof of Theorem elpm2g
StepHypRef Expression
1 elpmg 6871 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( B  X.  A
) ) ) )
2 funssxp 5482 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  F  C_  ( B  X.  A
) )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B )
)
31, 2syl6bb 252 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1710    C_ wss 3228    X. cxp 4766   dom cdm 4768   Fun wfun 5328   -->wf 5330  (class class class)co 5942    ^pm cpm 6858
This theorem is referenced by:  elpm2r  6873  elpmi  6874  elpm2  6884  lmcnp  17132  cmetcaulem  18812  mbfres  19097  dvbsss  19350  perfdvf  19351  dvnff  19370  dvnf  19374  dvnbss  19375  dvnadd  19376  cpnord  19382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-pm 6860
  Copyright terms: Public domain W3C validator