MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2g Unicode version

Theorem elpm2g 6787
Description: The predicate "is a partial function." (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpm2g  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B ) ) )

Proof of Theorem elpm2g
StepHypRef Expression
1 elpmg 6786 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( B  X.  A
) ) ) )
2 funssxp 5402 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  F  C_  ( B  X.  A
) )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B )
)
31, 2syl6bb 252 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684    C_ wss 3152    X. cxp 4687   dom cdm 4689   Fun wfun 5249   -->wf 5251  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773
This theorem is referenced by:  elpm2r  6788  elpmi  6789  elpm2  6799  lmcnp  17032  cmetcaulem  18714  mbfres  18999  dvbsss  19252  perfdvf  19253  dvnff  19272  dvnf  19276  dvnbss  19277  dvnadd  19278  cpnord  19284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-pm 6775
  Copyright terms: Public domain W3C validator