Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpredg Unicode version

Theorem elpredg 24178
Description: Membership in a predecessor class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
elpredg  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  A )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  Y R X ) )

Proof of Theorem elpredg
StepHypRef Expression
1 df-pred 24168 . . . . 5  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  =  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )
21elin2 3359 . . . 4  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  ( Y  e.  A  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) ) )
32baib 871 . . 3  |-  ( Y  e.  A  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X
)  <->  Y  e.  ( `' R " { X } ) ) )
43adantl 452 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  A )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  Y  e.  ( `' R " { X } ) ) )
5 elimasng 5039 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  A )  ->  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  <->  <. X ,  Y >.  e.  `' R
) )
6 df-br 4024 . . 3  |-  ( X `' R Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  `' R
)
75, 6syl6bbr 254 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  A )  ->  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  <->  X `' R Y ) )
8 brcnvg 4862 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  A )  ->  ( X `' R Y 
<->  Y R X ) )
94, 7, 83bitrd 270 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  A )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  Y R X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   "cima 4692   Predcpred 24167
This theorem is referenced by:  predpo  24184  predpoirr  24197  predfrirr  24198  wfrlem10  24265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-pred 24168
  Copyright terms: Public domain W3C validator