Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpredg Unicode version

Theorem elpredg 25202
Description: Membership in a predecessor class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
elpredg  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  A )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  Y R X ) )

Proof of Theorem elpredg
StepHypRef Expression
1 df-pred 25192 . . . . 5  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  =  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )
21elin2 3474 . . . 4  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  ( Y  e.  A  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) ) )
32baib 872 . . 3  |-  ( Y  e.  A  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X
)  <->  Y  e.  ( `' R " { X } ) ) )
43adantl 453 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  A )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  Y  e.  ( `' R " { X } ) ) )
5 elimasng 5170 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  A )  ->  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  <->  <. X ,  Y >.  e.  `' R
) )
6 df-br 4154 . . 3  |-  ( X `' R Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  `' R
)
75, 6syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  A )  ->  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  <->  X `' R Y ) )
8 brcnvg 4993 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  A )  ->  ( X `' R Y 
<->  Y R X ) )
94, 7, 83bitrd 271 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  A )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  Y R X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   {csn 3757   <.cop 3760   class class class wbr 4153   `'ccnv 4817   "cima 4821   Predcpred 25191
This theorem is referenced by:  predpo  25208  predpoirr  25221  predfrirr  25222  wfrlem10  25289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-br 4154  df-opab 4208  df-xp 4824  df-cnv 4826  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-pred 25192
  Copyright terms: Public domain W3C validator