Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpredim Structured version   Unicode version

Theorem elpredim 25452
Description: Membership in a predecessor class - implicative version. (Contributed by Scott Fenton, 9-May-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
elpredim.1  |-  X  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
elpredim  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Y R X )

Proof of Theorem elpredim
StepHypRef Expression
1 df-pred 25440 . . 3  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  =  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )
21elin2 3532 . 2  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  ( Y  e.  A  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) ) )
3 elpredim.1 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
4 elimasng 5231 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) )  ->  ( Y  e.  ( `' R " { X }
)  <->  <. X ,  Y >.  e.  `' R ) )
5 opelcnvg 5053 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  `' R  <->  <. Y ,  X >.  e.  R ) )
64, 5bitrd 246 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) )  ->  ( Y  e.  ( `' R " { X }
)  <->  <. Y ,  X >.  e.  R ) )
73, 6mpan 653 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  ->  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  <->  <. Y ,  X >.  e.  R ) )
87ibi 234 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  ->  <. Y ,  X >.  e.  R )
9 df-br 4214 . . . 4  |-  ( Y R X  <->  <. Y ,  X >.  e.  R )
108, 9sylibr 205 . . 3  |-  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  ->  Y R X )
1110adantl 454 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) )  ->  Y R X )
122, 11sylbi 189 1  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Y R X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1726   _Vcvv 2957   {csn 3815   <.cop 3818   class class class wbr 4213   `'ccnv 4878   "cima 4882   Predcpred 25439
This theorem is referenced by:  predbrg  25462  preddowncl  25472  trpredrec  25517
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pr 4404
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-br 4214  df-opab 4268  df-xp 4885  df-cnv 4887  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-pred 25440
  Copyright terms: Public domain W3C validator