Theorem elprpq 5107

Description: A positive real is a set of positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
elprpq	|- ((A e. P. /\ B e. A) -> B e. Q.)

Proof of Theorem elprpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 5106	. . . 4 |- (A e. P. -> A (. Q.)
2	1	pssssd 2147	. . 3 |- (A e. P. -> A (_ Q.)
3	2	sseld 2070	. 2 |- (A e. P. -> (B e. A -> B e. Q.))
4	3	imp 350	1 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> B e. Q.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  Q.cnq 4991  P.cnp 4997

This theorem is referenced by:  prub 5110  genpnnp 5120  genpnmax 5122  addclprlem1 5130  addclprlem2 5131  mulclprlem 5133  distrlem3pr 5141  distrlem4pr 5142  1idpr 5145  psslinpr 5147  prlem934 5151  ltaddpr 5152  ltexprlem2 5155  ltexprlem3 5156  ltexprlem6 5159  ltexprlem7 5160  prlem936b 5166  prlem936 5167  reclem2pr 5169  reclem4pr 5171

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-qs 4272  df-ni 5012  df-nq 5050  df-np 5098

Copyright terms: Public domain