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Theorem elpt 17267
Description: Elementhood in the bases of a product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
elpt  |-  ( S  e.  B  <->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
Distinct variable groups:    g, h, w, x, y, z, A   
g, F, h, w, x, y, z    S, g, h, x
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, w, g, h)    S( y, z, w)

Proof of Theorem elpt
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . 3  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21eleq2i 2347 . 2  |-  ( S  e.  B  <->  S  e.  { x  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
3 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
4 ixpexg 6840 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  _V  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  e.  _V )
5 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( g `
 y )  e. 
_V
65a1i 10 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  (
g `  y )  e.  _V )
74, 6mprg 2612 . . . . 5  |-  X_ y  e.  A  ( g `  y )  e.  _V
83, 7syl6eqel 2371 . . . 4  |-  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  S  e.  _V )
98exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  ->  S  e.  _V )
10 eqeq1 2289 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  (
x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
1110anbi2d 684 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) ) )
1211exbidv 1612 . . 3  |-  ( x  =  S  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
139, 12elab3 2921 . 2  |-  ( S  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
14 fneq1 5333 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  (
g  Fn  A  <->  h  Fn  A ) )
15 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
g `  y )  =  ( h `  y ) )
1615eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  (
( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( h `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1716ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1815eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
( g `  y
)  =  U. ( F `  y )  <->  ( h `  y )  =  U. ( F `
 y ) ) )
1918rexralbidv 2587 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
20 difeq2 3288 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( A  \  z )  =  ( A  \  w
) )
2120raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  ( A  \  z ) ( h `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
2221cbvrexv 2765 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( h `
 y )  = 
U. ( F `  y )  <->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )
2319, 22syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
2414, 17, 233anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( g  =  h  ->  (
( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  <->  ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
2515ralrimivw 2627 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  A. y  e.  A  ( g `  y )  =  ( h `  y ) )
26 ixpeq2 6830 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  =  ( h `  y )  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
)
2725, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
)
2827eqeq2d 2294 . . . 4  |-  ( g  =  h  ->  ( S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
2924, 28anbi12d 691 . . 3  |-  ( g  =  h  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
h `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( h `  y
) ) ) )
3029cbvexv 1943 . 2  |-  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  <->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
312, 13, 303bitri 262 1  |-  ( S  e.  B  <->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   U.cuni 3827    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   X_cixp 6817   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  elptr  17268  ptbasin  17272  ptbasfi  17276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ixp 6818
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