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Theorem elptr 17562
Description: A basic open set in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
elptr  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  X_ y  e.  A  ( G `  y )  e.  B
)
Distinct variable groups:    x, g,
y, G    z, g, A, x, y    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z    y, W
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)    G( z)    W( x, z, g)

Proof of Theorem elptr
Dummy variables  h  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2l 983 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  G  Fn  A )
2 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  A  e.  V )
3 fnex 5924 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  A  /\  A  e.  V )  ->  G  e.  _V )
41, 2, 3syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  G  e.  _V )
5 simp2r 984 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )
6 difeq2 3423 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  W
) )
76raleqdv 2874 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( A. y  e.  ( A  \  w ) ( G `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  A. y  e.  ( A  \  W
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
87rspcev 3016 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Fin  /\  A. y  e.  ( A 
\  W ) ( G `  y )  =  U. ( F `
 y ) )  ->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  w ) ( G `  y )  =  U. ( F `
 y ) )
983ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) )
101, 5, 93jca 1134 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
11 fveq1 5690 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  G  ->  (
h `  y )  =  ( G `  y ) )
1211eqcomd 2413 . . . . . . 7  |-  ( h  =  G  ->  ( G `  y )  =  ( h `  y ) )
1312ixpeq2dv 7041 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
)
1413biantrud 494 . . . . 5  |-  ( h  =  G  ->  (
( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  <->  ( (
h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
) ) )
15 fneq1 5497 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  (
h  Fn  A  <->  G  Fn  A ) )
1611eleq1d 2474 . . . . . . 7  |-  ( h  =  G  ->  (
( h `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1716ralbidv 2690 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  ( A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1811eqeq1d 2416 . . . . . . 7  |-  ( h  =  G  ->  (
( h `  y
)  =  U. ( F `  y )  <->  ( G `  y )  =  U. ( F `
 y ) ) )
1918rexralbidv 2714 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  ( E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  w ) ( h `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
2015, 17, 193anbi123d 1254 . . . . 5  |-  ( h  =  G  ->  (
( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  <->  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
2114, 20bitr3d 247 . . . 4  |-  ( h  =  G  ->  (
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
)  <->  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
2221spcegv 3001 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (
( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) )  ->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
) ) )
234, 10, 22sylc 58 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
) )
24 ptbas.1 . . 3  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2524elpt 17561 . 2  |-  ( X_ y  e.  A  ( G `  y )  e.  B  <->  E. h ( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
) )
2623, 25sylibr 204 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  X_ y  e.  A  ( G `  y )  e.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2394   A.wral 2670   E.wrex 2671   _Vcvv 2920    \ cdif 3281   U.cuni 3979    Fn wfn 5412   ` cfv 5417   X_cixp 7026   Fincfn 7072
This theorem is referenced by:  elptr2  17563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ixp 7027
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